lim (x-2) -> 0 (x akar(x)-2 akar(x)-2 akar(2)+x akar(2) )/

Menggunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi, hasil limitnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 2} \frac{x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$, kita dapat mencoba substitusi langsung. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan metode lain seperti faktorisasi atau aturan L'Hopital.

Substitusi x = 2:
Pembilang: $2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 0$
Penyebut: $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi.

Metode Faktorisasi:
Kita bisa mengelompokkan suku-suku pada pembilang:
$x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2} = \sqrt{x}(x-2) + \sqrt{2}(x-2) = (\sqrt{x} + \sqrt{2})(x-2)$

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{2})(x-2)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$

Sekarang kita substitusi x = 2:
$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2})(2-2)}{\sqrt{2} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2})(0)}{0}$ - ini masih 0/0.
Mari kita coba faktorkan ulang pembilang dengan cara yang berbeda atau gunakan aturan L'Hopital.

Mari kita kelompokkan kembali pembilang:
$(x\sqrt{x} + x\sqrt{2}) - (2\sqrt{x} + 2\sqrt{2})$
$= x(\sqrt{x} + \sqrt{2}) - 2(\sqrt{x} + \sqrt{2})$
$= (x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})$

Jadi limitnya adalah $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$.
Substitusi x=2:
$\frac{(2-2)(\sqrt{2} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} - \sqrt{2}} = \frac{0 \cdot 2\sqrt{2}}{0}$ Ini masih 0/0. Ada kesalahan dalam pemahaman soal atau cara faktorisasi. Mari kita periksa kembali soalnya.

Asumsi soalnya adalah $\lim_{x \to 2} \frac{x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}$. Jika penyebutnya $x-\sqrt{2}$ bukan $\sqrt{x}-\sqrt{2}$.

Mari kita coba aturan L'Hopital pada bentuk awal:
$\lim_{x \to 2} \frac{x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$
Turunan pembilang terhadap x: $\frac{d}{dx}(x^{3/2} - 2x^{1/2} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}) = \frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2} + \sqrt{2}$
Turunan penyebut terhadap x: $\frac{d}{dx}(x^{1/2} - 2^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Menerapkan L'Hopital:
$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2} + \sqrt{2}}{\frac{1}{2}x^{-1/2}}$
Substitusi x = 2:
$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$

Jadi, hasil limitnya adalah 8.