lim x -> tak hingga

$2\sqrt{2} - 3$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{2x^2+1}}{x+1+\sqrt{2x^2+4}}$, kita akan membagi pembilang dan penyebut dengan suku pangkat tertinggi di penyebut, yaitu $x$.

Perhatikan bahwa di dalam akar kuadrat, suku pangkat tertingginya adalah $x^2$. Jadi, $\sqrt{x^2} = x$ (karena $x \to \infty$, $x$ positif).

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-\frac{\sqrt{2x^2+1}}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{2x^2+4}}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2}}-\sqrt{\frac{2x^2+1}{x^2}}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{2x^2+4}{x^2}}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}+\sqrt{2+\frac{4}{x^2}}}$

Ketika $x \to \infty$, suku-suku seperti $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, dan $\frac{4}{x^2}$ akan mendekati 0.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+0+0}-\sqrt{2+0}}{1+0+\sqrt{2+0}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

$\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan konjugatnya:
$\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2})^2}{1^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{1 - 2\sqrt{2} + 2}{1 - 2}$
$= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{-1}$
$= -(3 - 2\sqrt{2})$
$= 2\sqrt{2} - 3$

Jadi, nilai limitnya adalah $2\sqrt{2} - 3$.