lim x-> tak hingga (cos 4/x + cos 2/x . sin 3/akar(x) - cos

-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi.
Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, y mendekati 0.
Limit menjadi:
lim y->0 (cos 4y + cos 2y * sin 3(akar y) - cos 4y * sin 3(akar y) - cos 2y) / (sin^2 y - cos 2y + 1)

Karena sin(ay) ≈ ay dan cos(ay) ≈ 1 - (ay)^2/2 untuk y mendekati 0:
Pembilang ≈ (1 - (4y)^2/2) + (1 - (2y)^2/2) * (3y) - (1 - (4y)^2/2) * (3y) - (1 - (2y)^2/2)
≈ 1 - 8y^2 + 1 + 2y^2 - (3y - 18y^3) - 1 + 8y^2
≈ 1 + 2y^2 - 3y + 1 + 8y^2
≈ 1 - 3y + 10y^2

Jika kita substitusikan y=0 ke dalam pembilang, kita mendapatkan 1 + 1 - 1 - 1 = 0.

Sekarang mari kita periksa penyebutnya:
Sin^2 y - cos 2y + 1
Ketika y mendekati 0:
Sin^2 y ≈ y^2
cos 2y ≈ 1 - (2y)^2/2 = 1 - 2y^2

Penyebut ≈ y^2 - (1 - 2y^2) + 1
Penyebut ≈ y^2 - 1 + 2y^2 + 1
Penyebut ≈ 3y^2

Jadi, limitnya adalah lim y->0 (1 - 3y + 10y^2) / (3y^2).
Karena pembilang mendekati 1 dan penyebut mendekati 0 dari sisi positif, nilai limitnya adalah tak hingga.

Namun, ada kemungkinan kesalahan dalam penafsiran soal atau penulisan soalnya, karena bentuk umum soal limit tak hingga dengan fungsi trigonometri seringkali menghasilkan nilai hingga.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.
lim x-> tak hingga (cos 4/x + cos 2/x . sin 3/akar(x) - cos 4/x . sin 3/akar(x) - cos 2/x)/(sin^2 1/x - cos 2/x +1)

Kita tahu bahwa:
cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
sin^2(u) = (1 - cos(2u))/2
cos(2u) = 1 - 2sin^2(u)

Mari kita ubah penyebutnya:
sin^2(1/x) - cos(2/x) + 1
= (1 - cos(2/x))/2 - cos(2/x) + 1
= 3/2 - (3/2)cos(2/x)
= (3/2)(1 - cos(2/x))
= (3/2)(2sin^2(1/x))
= 3sin^2(1/x)

Untuk pembilang:
(cos 4/x - cos 2/x) + (cos 2/x . sin 3/akar(x) - cos 4/x . sin 3/akar(x))
= -2 sin(3/x) sin(1/x) + sin(3/akar(x)) (cos 2/x - cos 4/x)
= -2 sin(3/x) sin(1/x) + sin(3/akar(x)) (-2 sin(3/x) sin(-1/x))
= -2 sin(3/x) sin(1/x) + 2 sin(3/akar(x)) sin(3/x) sin(1/x)
= 2 sin(3/x) sin(1/x) [sin(3/akar(x)) - 1]

Limitnya menjadi:
lim x-> tak hingga [2 sin(3/x) sin(1/x) (sin(3/akar(x)) - 1)] / [3sin^2(1/x)]

Kita tahu bahwa untuk x mendekati tak hingga:
sin(a/x) ≈ a/x
sin(a/akar(x)) ≈ a/akar(x)

Maka limitnya:
lim x-> tak hingga [2 (3/x) (1/x) (3/akar(x) - 1)] / [3(1/x)^2]
= lim x-> tak hingga [6/x^2 (3/akar(x) - 1)] / [3/x^2]
= lim x-> tak hingga 2 (3/akar(x) - 1)

Ketika x mendekati tak hingga, 3/akar(x) mendekati 0.
Jadi, limitnya adalah 2 * (0 - 1) = -2.

Jawaban yang lebih mungkin adalah -2.