lim x->tak hingga (x+2-akar(x^2-2x+6))=

Nilai limitnya adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to\infty} (x+2-\sqrt{x^2-2x+6})$, kita akan menggunakan teknik mengalikan dengan konjugatnya untuk menghilangkan bentuk tak tentu.

1. **Kalikan dengan konjugat:**
   Konjugat dari $(x+2-\sqrt{x^2-2x+6})$ adalah $(x+2+\sqrt{x^2-2x+6})$.
   Kita kalikan ekspresi dengan $\frac{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$.

   $$(x+2-\sqrt{x^2-2x+6}) \times \frac{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$$ $$ = \frac{(x+2)^2 - (x^2-2x+6)}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$$ $$ = \frac{(x^2+4x+4) - (x^2-2x+6)}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$$ $$ = \frac{x^2+4x+4 - x^2+2x-6}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$$ $$ = \frac{6x-2}{x+2+\sqrt{x^2-2x+6}}$$

2. **Bagi dengan pangkat tertinggi di penyebut:**
   Pangkat tertinggi di penyebut adalah x (karena $\sqrt{x^2} = x$). Bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x.

   $$ \frac{\frac{6x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}+\frac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x}} $$ $$ = \frac{6-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{x^2-2x+6}{x^2}}} $$ $$ = \frac{6-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2}}}$$ 

3. **Hitung limit saat x menuju tak hingga:**
   Saat x -> tak hingga, suku-suku dengan 1/x dan 1/x^2 akan mendekati 0.

   $$ \lim_{x\to\infty} \frac{6-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}+\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2}}} = \frac{6-0}{1+0+\sqrt{1-0+0}} $$ $$ = \frac{6}{1+\sqrt{1}} = \frac{6}{1+1} = \frac{6}{2} = 3$$ 

Jadi, $\lim_{x\to\infty} (x+2-\sqrt{x^2-2x+6}) = 3$.