limit x -> 0 (1-cos^2 2x)/(x^2 cotan(x+pi/4)) = ....

4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan sifat limit.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→0) [ (1 - cos²(2x)) / (x² cotan(x + π/4)) ]

Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa sin²(θ) + cos²(θ) = 1, sehingga 1 - cos²(2x) = sin²(2x).

Limit menjadi: lim (x→0) [ sin²(2x) / (x² cotan(x + π/4)) ]

Langkah 2: Ubah cotan(x + π/4).
Kita tahu bahwa cotan(A + B) = (cot A cot B - 1) / (cot A + cot B).
Atau, kita bisa menggunakan sifat cotan(θ) = cos(θ) / sin(θ).

Perhatikan bahwa cotan(x + π/4) = (cos(x + π/4)) / (sin(x + π/4)).

Saat x → 0, x + π/4 → π/4.
cos(π/4) = 1/√2
sin(π/4) = 1/√2
Jadi, cotan(π/4) = (1/√2) / (1/√2) = 1.

Limit menjadi: lim (x→0) [ sin²(2x) / (x² * 1) ]
= lim (x→0) [ sin²(2x) / x² ]

Langkah 3: Gunakan sifat limit dasar.
Kita tahu bahwa lim (θ→0) [ sin(θ) / θ ] = 1.
Kita dapat menulis ulang ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini:

sin²(2x) / x² = [sin(2x) / x] * [sin(2x) / x]

Agar sesuai dengan bentuk sin(θ)/θ, kita perlu konstanta yang sama di pembilang dan penyebut.

[sin(2x) / x] = [sin(2x) / (2x)] * 2

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x→0) [ (sin(2x) / (2x)) * 2 ] * [ (sin(2x) / (2x)) * 2 ]
= lim (x→0) [ (sin(2x) / (2x)) * 2 ] * lim (x→0) [ (sin(2x) / (2x)) * 2 ]

Karena lim (θ→0) [ sin(θ) / θ ] = 1, maka lim (2x→0) [ sin(2x) / (2x) ] = 1.

Jadi, limitnya adalah:
(1 * 2) * (1 * 2) = 2 * 2 = 4.

Nilai limitnya adalah 4.