limit x->0 (1-cos2x)/x

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menghitung limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena ketika x mendekati 0, baik pembilang (1 - cos(2*0)) = 1 - 1 = 0 maupun penyebut (0) mendekati 0, yang merupakan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (f(x)/g(x)) adalah bentuk tak tentu, maka limitnya sama dengan lim (f'(x)/g'(x)), di mana f'(x) dan g'(x) adalah turunan dari f(x) dan g(x) secara berturut-turut.

Dalam kasus ini:
f(x) = 1 - cos(2x)
g(x) = x

Turunan dari f(x) adalah f'(x):
d/dx (1 - cos(2x)) = 0 - (-sin(2x) * 2) = 2sin(2x)

Turunan dari g(x) adalah g'(x):
d/dx (x) = 1

Sekarang kita terapkan aturan L'Hôpital:
lim x->0 (1 - cos(2x)) / x = lim x->0 (2sin(2x)) / 1

Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan yang baru:
= 2sin(2*0) / 1
= 2sin(0) / 1
= 2 * 0 / 1
= 0 / 1
= 0

Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri 1 - cos(2x) = 2sin²(x).

lim x->0 (1 - cos(2x)) / x = lim x->0 (2sin²(x)) / x

Kita bisa menulis ulang ini menjadi:
= lim x->0 (2sin(x) * sin(x)) / x

Kemudian pisahkan menjadi:
= 2 * lim x->0 (sin(x) / x) * lim x->0 sin(x)

Kita tahu bahwa lim x->0 (sin(x) / x) = 1 dan lim x->0 sin(x) = 0.

Jadi, substitusikan nilai-nilai ini:
= 2 * 1 * 0
= 0

Kedua metode memberikan hasil yang sama.