limit x -> 0 x.tan5x/(cos2x-cos7x)=....

Nilai limitnya adalah 2/9.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai dari limit:
lim (x->0) [x * tan(5x)] / [cos(2x) - cos(7x)]

Saat x -> 0, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0, sehingga ini adalah bentuk tak tentu 0/0.
Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri dan limit standar.
Kita tahu bahwa lim (u->0) sin(u)/u = 1 dan lim (u->0) tan(u)/u = 1.
Juga, cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A+B)/2) * sin((A-B)/2).

Dalam kasus ini, A = 2x dan B = 7x.
cos(2x) - cos(7x) = -2 * sin((2x+7x)/2) * sin((2x-7x)/2)
= -2 * sin(9x/2) * sin(-5x/2)
= -2 * sin(9x/2) * [-sin(5x/2)]
= 2 * sin(9x/2) * sin(5x/2)

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 * sin(9x/2) * sin(5x/2)]

Kita pisahkan menjadi beberapa bagian limit standar:
= lim (x->0) [x / sin(5x/2)] * [tan(5x) / sin(9x/2)] * [1/2]

Untuk membuat bentuknya menjadi limit standar, kita kalikan dan bagi dengan konstanta yang sesuai:
= lim (x->0) [ (x / (5x/2)) * (5x/2) / sin(5x/2) ] * [ (tan(5x) / 5x) * 5x / ( (9x/2) / sin(9x/2) ) * (9x/2) ] * [1/2]

Ini menjadi rumit. Mari kita coba pendekatan lain:
Kita tahu tan(5x) = sin(5x) / cos(5x).
lim (x->0) [x * sin(5x) / cos(5x)] / [cos(2x) - cos(7x)]

Kita gunakan identitas cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2).
lim (x->0) [x * sin(5x) / cos(5x)] / [-2 sin(9x/2) sin(-5x/2)]

Karena sin(-u) = -sin(u):
lim (x->0) [x * sin(5x) / cos(5x)] / [2 sin(9x/2) sin(5x/2)]

Sekarang, kita manipulasi agar sesuai dengan lim u/sin u = 1 dan lim tan u/u = 1.
= lim (x->0) [ (x * 5x / (5x)) * (sin(5x) / 5x) * (1 / cos(5x)) ] / [ 2 * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (9x/2) * (sin(5x/2) / (5x/2)) * (5x/2) ]

Sederhanakan:
= lim (x->0) [ x * (sin(5x)/5x) * (5/cos(5x)) ] / [ 2 * (sin(9x/2)/(9x/2)) * (9x/2) * (sin(5x/2)/(5x/2)) * (5x/2) ]

Kita tahu:
lim (x->0) sin(5x)/5x = 1
lim (x->0) tan(5x)/5x = 1
lim (x->0) cos(5x) = 1
lim (x->0) 9x/2 = 0
lim (x->0) 5x/2 = 0

Substitusikan kembali:
= [ lim(x->0) x ] * [ lim(x->0) tan(5x) / 5x ] * [ 5 ] / [ lim(x->0) cos(2x) - cos(7x) ]

Ini masih belum jelas. Mari kita gunakan aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital: Jika lim f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).

f(x) = x * tan(5x)
f'(x) = 1 * tan(5x) + x * (5 * sec^2(5x)) = tan(5x) + 5x sec^2(5x)

g(x) = cos(2x) - cos(7x)
g'(x) = -2 sin(2x) - (-7 sin(7x)) = 7 sin(7x) - 2 sin(2x)

Sekarang kita cari limit dari f'(x)/g'(x) saat x->0:
lim (x->0) [tan(5x) + 5x sec^2(5x)] / [7 sin(7x) - 2 sin(2x)]

Saat x->0:
tan(5x) -> 0
5x sec^2(5x) -> 0 * 1^2 = 0
7 sin(7x) -> 0
2 sin(2x) -> 0

Masih bentuk 0/0. Terapkan L'Hopital lagi.

f''(x) = d/dx [tan(5x) + 5x sec^2(5x)]
= 5 sec^2(5x) + [5 sec^2(5x) + 5x * 2 sec(5x) * (5 sec(5x) tan(5x))]
= 5 sec^2(5x) + 5 sec^2(5x) + 50x sec^2(5x) tan(5x)
= 10 sec^2(5x) + 50x sec^2(5x) tan(5x)

g''(x) = d/dx [7 sin(7x) - 2 sin(2x)]
= 7 * 7 cos(7x) - 2 * 2 cos(2x)
= 49 cos(7x) - 4 cos(2x)

Sekarang cari limit dari f''(x)/g''(x) saat x->0:
lim (x->0) [10 sec^2(5x) + 50x sec^2(5x) tan(5x)] / [49 cos(7x) - 4 cos(2x)]

Saat x->0:
sec(5x) -> sec(0) = 1
tan(5x) -> tan(0) = 0
cos(7x) -> cos(0) = 1
cos(2x) -> cos(0) = 1

Substitusikan:
= [10 * 1^2 + 50 * 0 * 1^2 * 0] / [49 * 1 - 4 * 1]
= [10 + 0] / [49 - 4]
= 10 / 45
= 2 / 9

Jadi, nilai limitnya adalah 2/9.

Metode 2: Menggunakan limit standar sin(u)/u dan tan(u)/u.
lim (x->0) [x * tan(5x)] / [cos(2x) - cos(7x)]

Kita ubah penyebutnya menggunakan cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2).
cos(2x) - cos(7x) = -2 sin((2x+7x)/2) sin((2x-7x)/2)
= -2 sin(9x/2) sin(-5x/2)
= 2 sin(9x/2) sin(5x/2)

Limit menjadi:
lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 sin(9x/2) sin(5x/2)]

Kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk limit standar:
= lim (x->0) [x * (sin(5x)/cos(5x))] / [2 * sin(9x/2) * sin(5x/2)]

= lim (x->0) [x * (sin(5x) / 5x) * 5x * (1/cos(5x))] / [2 * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (9x/2) * (sin(5x/2) / (5x/2)) * (5x/2)]

Kita tahu:
lim (x->0) sin(ax)/ax = 1
lim (x->0) tan(ax)/ax = 1

= lim (x->0) [x * 1 * 5x * (1/1)] / [2 * 1 * (9x/2) * 1 * (5x/2)]

Ini tidak tepat karena kita membagi dengan x di pembilang dan penyebut, tetapi ada faktor x di luar.
Mari kita pecah dengan benar:

= lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 * sin(9x/2) * sin(5x/2)]

Kita ingin bentuk seperti (ax) / sin(ax) atau (ax) / tan(ax).
= lim (x->0) [ (x * 5x / 5x) * (tan(5x) / 5x) ] / [ 2 * (9x/2 / sin(9x/2)) * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (5x/2 / sin(5x/2)) * (sin(5x/2) / (5x/2)) ]

Ini masih terlalu rumit.
Coba cara yang lebih sederhana:
Kalikan dan bagi dengan konstanta yang tepat untuk mendapatkan bentuk limit standar.

Limit = lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 * sin(9x/2) * sin(5x/2)]

Kalikan pembilang dan penyebut dengan (5x), (9x/2), dan (5x/2) agar muncul bentuk yang kita inginkan.

= lim (x->0) [ (x * 5x / 5x) * (tan(5x) / 5x) ] / [ 2 * (9x/2 / sin(9x/2)) * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (5x/2 / sin(5x/2)) * (sin(5x/2) / (5x/2)) ]

Ini salah.

Mari kita fokus pada:
lim (x->0) x * tan(5x) = lim (x->0) x * (sin(5x)/cos(5x)) = lim (x->0) [x * sin(5x) / cos(5x)]

lim (x->0) [x * (5x / 5x) * sin(5x) / cos(5x)] = lim (x->0) [5x^2 / 5x * sin(5x)/5x * 5x / cos(5x)]
Ini masih salah.

Kembali ke:
lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 sin(9x/2) sin(5x/2)]

Kita butuh (5x) di pembilang untuk tan(5x), (9x/2) untuk sin(9x/2), dan (5x/2) untuk sin(5x/2).

Bentuk = lim (x->0) [ (x * 5x) / (5x) * (tan(5x) / 5x) ] / [ 2 * (9x/2) * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (5x/2) * (sin(5x/2) / (5x/2)) ]

= lim (x->0) [ 5x^2 / 5x * (tan(5x)/5x) ] / [ 2 * (9x/2) * 1 * (5x/2) * 1 ]

= lim (x->0) [ x * 1 ] / [ 2 * (9x/2) * (5x/2) ]

= lim (x->0) x / [ 2 * (45x^2 / 4) ]

= lim (x->0) x / [ 45x^2 / 2 ]

= lim (x->0) 2x / 45x^2

= lim (x->0) 2 / 45x

Ini menuju tak hingga, yang berarti ada kesalahan dalam manipulasi.

Mari kita ulangi dengan lebih hati-hati.
Limit = lim (x->0) [x * tan(5x)] / [2 sin(9x/2) sin(5x/2)]

Kita ingin bentuk (ax)/(sin(ax)) atau (ax)/(tan(ax)).

Limit = lim (x->0) [ (x * 5x / 5x) * (tan(5x) / 5x) ] / [ 2 * (9x/2 / sin(9x/2)) * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (5x/2 / sin(5x/2)) * (sin(5x/2) / (5x/2)) ]
Ini masih salah.

Mari kita pecah konstanta yang dibutuhkan:
Pembilang: x * tan(5x). Kita butuh 5x untuk tan(5x).
Kita punya x, jadi kita perlu mengalikan dengan 5x dan membagi dengan 5x.
= (x * 5x / 5x) * (tan(5x) / 5x) * 5x

Penyebut: 2 * sin(9x/2) * sin(5x/2). Kita butuh (9x/2) untuk sin(9x/2) dan (5x/2) untuk sin(5x/2).
= 2 * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (9x/2) * (sin(5x/2) / (5x/2)) * (5x/2)

Sekarang susun ulang:
Limit = lim (x->0) [ x * tan(5x) ] / [ 2 sin(9x/2) sin(5x/2) ]

= lim (x->0) [ x * (sin(5x)/cos(5x)) ] / [ 2 sin(9x/2) sin(5x/2) ]

Kita tahu lim (u->0) sin(u)/u = 1.

= lim (x->0) [ x * (sin(5x) / 5x) * 5x ] / [ 2 * (sin(9x/2) / (9x/2)) * (9x/2) * (sin(5x/2) / (5x/2)) * (5x/2) ]

= lim (x->0) [ x * 1 * 5x ] / [ 2 * 1 * (9x/2) * 1 * (5x/2) ]

= lim (x->0) [ 5x^2 ] / [ 2 * (45x^2 / 4) ]

= lim (x->0) 5x^2 / (45x^2 / 2)

= lim (x->0) (5x^2 * 2) / 45x^2

= lim (x->0) 10x^2 / 45x^2

= 10 / 45

= 2 / 9

Ini konsisten dengan hasil L'Hopital.

Jawaban ringkas: Nilai limitnya adalah 2/9.