limit x->2 ((x+1)^1/2-(9-3x)^1/2)/(x- 2)=....

Nilai limitnya adalah 2*sqrt(3)/3 menggunakan aturan L'Hopital.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim (x->2) [((x+1)^1/2 - (9-3x)^1/2) / (x - 2)]

Jika kita substitusikan x = 2 langsung ke dalam persamaan:
Pembilang: (2+1)^1/2 - (9-3*2)^1/2 = 3^1/2 - (9-6)^1/2 = sqrt(3) - sqrt(3) = 0
Penyebut: 2 - 2 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (x->c) f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan lim (x->c) f'(x)/g'(x).

Kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut:
Turunan pembilang f(x) = (x+1)^1/2 - (9-3x)^1/2:
f'(x) = (1/2)(x+1)^(-1/2) * 1 - (1/2)(9-3x)^(-1/2) * (-3)
f'(x) = 1/(2*sqrt(x+1)) + 3/(2*sqrt(9-3x))

Turunan penyebut g(x) = x - 2:
g'(x) = 1

Sekarang kita terapkan aturan L'Hopital:
lim (x->2) [f'(x) / g'(x)] = lim (x->2) [ (1/(2*sqrt(x+1)) + 3/(2*sqrt(9-3x))) / 1 ]

Substitusikan x = 2 ke dalam turunan:
= 1/(2*sqrt(2+1)) + 3/(2*sqrt(9-3*2))
= 1/(2*sqrt(3)) + 3/(2*sqrt(3))
= (1 + 3) / (2*sqrt(3))
= 4 / (2*sqrt(3))
= 2 / sqrt(3)

Untuk merasionalkan penyebutnya:
= (2 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))
= 2*sqrt(3) / 3

Jadi, nilai limitnya adalah 2*sqrt(3) / 3.