Nilai x yang memenuhi daerah penyelesaian sistem

a ≥ 3

Pembahasan

Kita diberikan dua pertidaksamaan:
1. y ≥ x^2 - 2x - 1
2. y ≤ x + a

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan ini dipenuhi oleh -1 ≤ x ≤ 4.
Ini berarti bahwa untuk setiap x dalam interval [-1, 4], ada nilai y yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.

Secara geometris, ini berarti bahwa parabola y = x^2 - 2x - 1 berada di bawah atau berpotongan dengan garis y = x + a untuk seluruh interval x ∈ [-1, 4].

Agar ini terjadi, nilai minimum dari (x + a) harus lebih besar dari atau sama dengan nilai maksimum dari (x^2 - 2x - 1) pada interval [-1, 4].

Mari kita cari nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = x^2 - 2x - 1 pada interval [-1, 4].
Parabola ini terbuka ke atas. Titik puncaknya berada di x = -b/(2a) = -(-2)/(2*1) = 2/2 = 1.
Karena x = 1 berada dalam interval [-1, 4], nilai minimum parabola terjadi di x = 1.
Nilai minimum parabola: f(1) = 1^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2.

Nilai maksimum parabola pada interval akan terjadi di salah satu ujung interval (-1 atau 4).
Nilai di x = -1: f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2.
Nilai di x = 4: f(4) = 4^2 - 2(4) - 1 = 16 - 8 - 1 = 7.

Jadi, nilai maksimum dari x^2 - 2x - 1 pada interval [-1, 4] adalah 7 (terjadi di x = 4).

Sekarang, mari kita tinjau garis g(x) = x + a pada interval [-1, 4].
Garis ini memiliki gradien positif (1), sehingga nilainya akan meningkat seiring dengan meningkatnya x.
Nilai minimum garis terjadi di x = -1: g(-1) = -1 + a.
Nilai maksimum garis terjadi di x = 4: g(4) = 4 + a.

Agar daerah penyelesaian dipenuhi oleh -1 ≤ x ≤ 4, maka untuk setiap x di interval ini, harus berlaku:
x^2 - 2x - 1 ≤ y ≤ x + a
Ini mengimplikasikan bahwa untuk setiap x dalam interval [-1, 4], kita harus memiliki:
x^2 - 2x - 1 ≤ x + a

Ini berarti bahwa nilai maksimum dari x^2 - 2x - 1 pada interval harus kurang dari atau sama dengan nilai minimum dari x + a pada interval.
Namun, ini adalah pemikiran yang salah. Yang benar adalah:
Untuk setiap x di [-1, 4], harus ada y sedemikian rupa sehingga y ≥ x^2 - 2x - 1 DAN y ≤ x + a.
Ini berarti bahwa untuk setiap x di [-1, 4], harus berlaku:
x^2 - 2x - 1 ≤ x + a.

Ini harus dipenuhi untuk semua x dalam interval [-1, 4].
Kita perlu memastikan bahwa batas atas (garis y = x + a) selalu berada di atas atau sama dengan batas bawah (parabola y = x^2 - 2x - 1) untuk seluruh interval x ∈ [-1, 4].

Ini berarti bahwa nilai minimum dari (x + a) - (x^2 - 2x - 1) harus lebih besar dari atau sama dengan 0 untuk semua x ∈ [-1, 4].

Mari kita definisikan h(x) = (x + a) - (x^2 - 2x - 1) = x + a - x^2 + 2x + 1 = -x^2 + 3x + (a + 1).

Kita perlu memastikan bahwa h(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ [-1, 4].
Fungsi h(x) adalah parabola yang terbuka ke bawah. Nilai minimum dari h(x) pada interval [-1, 4] akan terjadi di salah satu ujung interval, yaitu x = -1 atau x = 4.

Kita harus memeriksa nilai h(x) di kedua ujung interval:

Di x = -1:
h(-1) = -(-1)^2 + 3(-1) + (a + 1) = -1 - 3 + a + 1 = a - 3.
Agar h(x) ≥ 0, maka a - 3 ≥ 0, yang berarti a ≥ 3.

Di x = 4:
h(4) = -(4)^2 + 3(4) + (a + 1) = -16 + 12 + a + 1 = a - 3.
Agar h(x) ≥ 0, maka a - 3 ≥ 0, yang berarti a ≥ 3.

Kedua kondisi memberikan hasil yang sama: a ≥ 3.

Namun, ada satu hal lagi yang perlu diperhatikan. Fungsi kuadrat h(x) = -x^2 + 3x + (a + 1) memiliki puncak pada x = -b/(2a) = -3/(2*(-1)) = 3/2 = 1.5.
Karena puncak parabola h(x) berada di dalam interval [-1, 4], nilai maksimum h(x) terjadi di x = 1.5.
Nilai maksimum h(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) + (a + 1) = -2.25 + 4.5 + a + 1 = a + 3.25.

Syarat bahwa daerah penyelesaian dipenuhi oleh -1 ≤ x ≤ 4 berarti bahwa untuk setiap x di interval [-1, 4], ada setidaknya satu nilai y yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Ini terjadi jika dan hanya jika batas atas (y = x + a) selalu berada di atas atau menyentuh batas bawah (y = x^2 - 2x - 1) di seluruh interval.

Jadi, kita perlu memastikan bahwa x + a ≥ x^2 - 2x - 1 untuk semua x ∈ [-1, 4].
Ini setara dengan memastikan bahwa nilai minimum dari fungsi selisih, yaitu h(x) = -x^2 + 3x + (a + 1), tidak pernah negatif pada interval tersebut.

Karena h(x) adalah parabola terbuka ke bawah, nilai minimumnya pada interval tertutup terjadi di salah satu ujung interval.
Kita sudah menghitung bahwa di kedua ujung interval (x=-1 dan x=4), h(x) = a - 3.
Agar h(x) selalu non-negatif, nilai minimum ini harus ≥ 0.

Jadi, a - 3 ≥ 0, yang berarti a ≥ 3.

Nilai 'a' yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah a ≥ 3.
Jika pertanyaan meminta "Nilai a", biasanya ini mengacu pada nilai minimum yang memenuhi kondisi tersebut jika ada lebih dari satu kemungkinan nilai. Namun, dalam konteks ini, 'a' bisa berapa saja yang lebih besar atau sama dengan 3.

Jika soal tersebut mengharapkan sebuah nilai tunggal, mungkin ada interpretasi lain. Tapi secara matematis, a ≥ 3 adalah jawabannya.

Mari kita periksa kembali apakah ada asumsi yang terlewat.
"Nilai x yang memenuhi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan y>=x^2-2x-1 y<=x+a dipenuhi oleh -1<=x<=4." 
Ini berarti bahwa untuk setiap x di [-1, 4], himpunan y yang memenuhi y>=x^2-2x-1 dan y<=x+a adalah tidak kosong.
Himpunan y tidak kosong jika dan hanya jika x^2-2x-1 <= x+a.

Jadi, kita perlu x^2-2x-1 <= x+a untuk semua x di [-1, 4].
Ini berarti x^2 - 3x - 1 - a <= 0 untuk semua x di [-1, 4].

Misalkan f(x) = x^2 - 3x - 1 - a. Parabola ini terbuka ke atas. Agar f(x) <= 0 pada interval [-1, 4], maka nilai maksimum f(x) pada interval tersebut harus kurang dari atau sama dengan 0.

Nilai maksimum dari f(x) = x^2 - 3x - 1 - a pada interval [-1, 4] terjadi di salah satu ujung interval karena puncak parabola berada pada x = -(-3)/(2*1) = 3/2 = 1.5, yang berada di dalam interval.

Nilai di x = -1: f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 1 - a = 1 + 3 - 1 - a = 3 - a.
Agar f(x) ≤ 0, maka 3 - a ≤ 0, yang berarti a ≥ 3.

Nilai di x = 4: f(4) = (4)^2 - 3(4) - 1 - a = 16 - 12 - 1 - a = 3 - a.
Agar f(x) ≤ 0, maka 3 - a ≤ 0, yang berarti a ≥ 3.

Kedua kondisi memberikan hasil yang sama, yaitu a ≥ 3.

Jika soal meminta "Nilai a yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah ...", dan jika ada pilihan ganda, nilai terkecil yang mungkin adalah 3. Jika tidak, maka a ≥ 3 adalah jawabannya.

Jika kita harus memberikan SATU nilai 'a', dan konteksnya adalah mencari batasan, maka nilai minimum yang memenuhi adalah 3.

Jawaban:
Nilai a yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah a ≥ 3. Jika diminta nilai tunggal, maka nilai minimumnya adalah 3.