limit x mendekati tak hingga (csc^2(2/x)-x^3 sin

-15/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga (csc^2(2/x) - x^3 sin(4/x))/x^2, kita dapat melakukan substitusi dan menggunakan beberapa identitas limit.

Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, y mendekati 0.
Persamaan menjadi: limit y mendekati 0 (csc^2(2y) - (1/y)^3 sin(4y))/(1/y)^2

Sederhanakan: limit y mendekati 0 (csc^2(2y) - sin(4y)/y^3) * y^2
limit y mendekati 0 (y^2 / sin^2(2y) - y sin(4y) / y^3 * y^2)
limit y mendekati 0 (y^2 / sin^2(2y) - sin(4y) / y)

Gunakan identitas limit: limit z mendekati 0 (sin(z)/z) = 1 dan limit z mendekati 0 (z/sin(z)) = 1.

Bagian pertama: limit y mendekati 0 (y^2 / sin^2(2y))
= limit y mendekati 0 ((y/sin(2y)) * (y/sin(2y)))
= limit y mendekati 0 ((1/2)*(2y/sin(2y)) * (1/2)*(2y/sin(2y)))
= (1/2) * 1 * (1/2) * 1 = 1/4

Bagian kedua: limit y mendekati 0 (sin(4y) / y)
= limit y mendekati 0 (4 * sin(4y) / (4y))
= 4 * 1 = 4

Jadi, limitnya adalah 1/4 - 4 = 1/4 - 16/4 = -15/4.

Limit x mendekati tak hingga (csc^2(2/x) - x^3 sin(4/x))/x^2 = -15/4