Lingkaran dengan pusat P(0,3) melalui titik asal dan

3*sqrt(15)/2

Pembahasan

Lingkaran pertama berpusat di P(0,3) dan melalui titik asal (0,0).
Jari-jari lingkaran pertama (r1) adalah jarak dari P(0,3) ke (0,0):
r1 = sqrt((0-0)^2 + (0-3)^2) = sqrt(0 + 9) = 3.
Persamaan lingkaran pertama adalah x^2 + (y-3)^2 = 3^2 = 9.

Lingkaran kedua berpusat di Q(0,-3) dan melalui titik P(0,3).
Jari-jari lingkaran kedua (r2) adalah jarak dari Q(0,-3) ke P(0,3):
r2 = sqrt((0-0)^2 + (3-(-3))^2) = sqrt(0 + 6^2) = sqrt(36) = 6.
Persamaan lingkaran kedua adalah x^2 + (y+3)^2 = 6^2 = 36.

Untuk mencari titik potong A dan B, kita samakan kedua persamaan lingkaran:
x^2 + (y-3)^2 = 9
x^2 + y^2 - 6y + 9 = 9
x^2 + y^2 - 6y = 0  (Persamaan 1)

x^2 + (y+3)^2 = 36
x^2 + y^2 + 6y + 9 = 36
x^2 + y^2 + 6y - 27 = 0 (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(x^2 + y^2 + 6y - 27) - (x^2 + y^2 - 6y) = 0 - 0
12y - 27 = 0
12y = 27
y = 27/12 = 9/4

Substitusikan y = 9/4 ke Persamaan 1 untuk mencari x:
x^2 + (9/4)^2 - 6(9/4) = 0
x^2 + 81/16 - 54/4 = 0
x^2 + 81/16 - 216/16 = 0
x^2 - 135/16 = 0
x^2 = 135/16
x = ± sqrt(135/16) = ± (3 * sqrt(15)) / 4

Jadi, titik potong A dan B adalah ((3 * sqrt(15)) / 4, 9/4) dan (-(3 * sqrt(15)) / 4, 9/4).
Panjang AB adalah jarak antara kedua titik potong ini, yang merupakan selisih nilai x mereka:
AB = |(3 * sqrt(15)) / 4 - (-(3 * sqrt(15)) / 4)|
AB = |(3 * sqrt(15)) / 4 + (3 * sqrt(15)) / 4|
AB = |(6 * sqrt(15)) / 4|
AB = (3 * sqrt(15)) / 2

Namun, perlu diperiksa kembali perhitungannya, karena pusat lingkaran berada pada sumbu y. Titik potong A dan B akan memiliki koordinat x yang berlawanan dan koordinat y yang sama. Jarak AB adalah 2 kali nilai absolut dari koordinat x.

Mari kita periksa ulang perhitungan:
Lingkaran 1: x^2 + (y-3)^2 = 9
Lingkaran 2: x^2 + (y+3)^2 = 36

Kurangkan persamaan 1 dari persamaan 2:
(x^2 + y^2 + 6y + 9) - (x^2 + y^2 - 6y + 9) = 36 - 9
12y = 27
y = 27/12 = 9/4

Substitusikan y = 9/4 ke persamaan 1:
x^2 + (9/4 - 3)^2 = 9
x^2 + (9/4 - 12/4)^2 = 9
x^2 + (-3/4)^2 = 9
x^2 + 9/16 = 9
x^2 = 9 - 9/16
x^2 = 144/16 - 9/16
x^2 = 135/16
x = ± sqrt(135)/4 = ± 3*sqrt(15)/4

Titik potongnya adalah A(-3*sqrt(15)/4, 9/4) dan B(3*sqrt(15)/4, 9/4).
Panjang AB adalah selisih koordinat x:
AB = (3*sqrt(15)/4) - (-3*sqrt(15)/4) = 6*sqrt(15)/4 = 3*sqrt(15)/2.

Ada kemungkinan kesalahan dalam pemahaman soal atau perhitungan.
Mari kita lihat kembali pusat dan jari-jari:
Lingkaran 1: Pusat P(0,3), melalui (0,0). Jari-jari r1 = 3. Persamaan: x^2 + (y-3)^2 = 9.
Lingkaran 2: Pusat Q(0,-3), melalui P(0,3). Jari-jari r2 = jarak Q ke P = sqrt((0-0)^2 + (3-(-3))^2) = sqrt(0 + 6^2) = 6. Persamaan: x^2 + (y+3)^2 = 36.

Koordinat titik potong A dan B:
Dari x^2 + y^2 - 6y = 0, kita punya x^2 = 6y - y^2.
Substitusi ke persamaan kedua:
(6y - y^2) + y^2 + 6y - 27 = 0
12y - 27 = 0
y = 27/12 = 9/4.

Substitusi y = 9/4 kembali ke x^2 = 6y - y^2:
x^2 = 6(9/4) - (9/4)^2
x^2 = 54/4 - 81/16
x^2 = 216/16 - 81/16
x^2 = 135/16
x = ± sqrt(135)/4 = ± 3*sqrt(15)/4.

Titik potongnya adalah (3*sqrt(15)/4, 9/4) dan (-3*sqrt(15)/4, 9/4).
Panjang AB adalah jarak vertikal antara kedua titik ini di sepanjang garis y=9/4.
Panjang AB = |(3*sqrt(15)/4) - (-3*sqrt(15)/4)| = |6*sqrt(15)/4| = 3*sqrt(15)/2.

Perhitungan ini tampaknya konsisten. Namun, soal ini mungkin memiliki trik atau memerlukan interpretasi geometris yang berbeda.

Mari kita pertimbangkan jarak antara kedua pusat lingkaran: P(0,3) dan Q(0,-3). Jarak PQ = 6.
Jari-jari r1 = 3, r2 = 6.

Karena pusat kedua lingkaran terletak pada sumbu y, garis AB akan menjadi garis vertikal.
Misalkan titik potongnya adalah (x, y).
x^2 + (y-3)^2 = 9
x^2 + (y+3)^2 = 36

Kita mencari panjang AB, yang merupakan 2 kali nilai x dari salah satu titik potong (karena simetri terhadap sumbu y).
Kita sudah menemukan x^2 = 135/16.
Maka x = ± sqrt(135)/4.
Nilai x positifnya adalah 3*sqrt(15)/4.
Panjang AB = 2 * x = 2 * (3*sqrt(15)/4) = 3*sqrt(15)/2.

Perhitungan ini tampaknya benar berdasarkan aljabar. Namun, hasil ini mungkin tampak rumit untuk soal standar.
Mari kita cek apakah ada cara yang lebih sederhana atau apakah ada kesalahan konseptual.

Misalkan lingkaran pertama L1: x^2 + (y-3)^2 = 9
Misalkan lingkaran kedua L2: x^2 + (y+3)^2 = 36

Titik potong A dan B memiliki koordinat (x, y).
Dari L1, x^2 = 9 - (y-3)^2.
Substitusi ke L2:
9 - (y-3)^2 + (y+3)^2 = 36
9 - (y^2 - 6y + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 36
9 - y^2 + 6y - 9 + y^2 + 6y + 9 = 36
12y + 9 = 36
12y = 27
y = 27/12 = 9/4.

Sekarang cari x:
x^2 + (9/4 - 3)^2 = 9
x^2 + (-3/4)^2 = 9
x^2 + 9/16 = 9
x^2 = 9 - 9/16 = (144 - 9)/16 = 135/16.
x = ± sqrt(135)/4 = ± 3*sqrt(15)/4.

Titik A = (-3*sqrt(15)/4, 9/4) dan B = (3*sqrt(15)/4, 9/4).
Panjang AB = jarak antara A dan B = 2 * (3*sqrt(15)/4) = 3*sqrt(15)/2.

Jika soal mengharapkan jawaban yang lebih sederhana, mungkin ada kesalahan dalam soal atau interpretasi.
Namun, berdasarkan perhitungan aljabar, panjang AB adalah 3*sqrt(15)/2.

Ada kemungkinan juga kesalahan dalam penulisan soal, misalnya pusat lingkaran kedua atau titik yang dilalui.

Mari kita coba periksa kasus jika jari-jari lingkaran kedua adalah 3 juga, agar simetris.
Jika r2=3, maka x^2 + (y+3)^2 = 9.
Kurangkan x^2 + (y-3)^2 = 9 dari x^2 + (y+3)^2 = 9:
(y+3)^2 - (y-3)^2 = 0
(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y + 9) = 0
12y = 0
y = 0.
Substitusi y=0 ke x^2 + (y-3)^2 = 9:
x^2 + (-3)^2 = 9
x^2 + 9 = 9
x^2 = 0
x = 0.
Dalam kasus ini, kedua lingkaran hanya berpotongan di satu titik (0,0).

Kembali ke soal asli:
Lingkaran 1: P(0,3), r1=3. x^2 + (y-3)^2 = 9.
Lingkaran 2: Q(0,-3), melalui P(0,3). r2=6. x^2 + (y+3)^2 = 36.

Kita perlu panjang AB, di mana A dan B adalah titik potong.
Kita sudah mendapatkan y = 9/4 dan x = ± 3*sqrt(15)/4.
Panjang AB adalah jarak antara kedua titik potong tersebut.
AB = sqrt( (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 )
AB = sqrt( (3*sqrt(15)/4 - (-3*sqrt(15)/4))^2 + (9/4 - 9/4)^2 )
AB = sqrt( (6*sqrt(15)/4)^2 + 0^2 )
AB = sqrt( (3*sqrt(15)/2)^2 )
AB = 3*sqrt(15)/2.

Mungkin ada kesalahan dalam soal aslinya atau angka yang diberikan. Namun, berdasarkan perhitungan, jawabannya adalah 3*sqrt(15)/2.