Lingkaran L: (x+1)^2+(y-3)^2=9 memotong garis y=3. Garis

Persamaan garis singgung lingkaran di titik potong adalah x = 2 dan x = -4.

Pembahasan

Lingkaran L memiliki persamaan (x+1)² + (y-3)² = 9. Ini adalah bentuk standar persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) = (-1, 3) dan jari-jari r = √9 = 3.

Lingkaran memotong garis y = 3. Untuk mencari titik potongnya, kita substitusikan y = 3 ke dalam persamaan lingkaran:
(x+1)² + (3-3)² = 9
(x+1)² + 0² = 9
(x+1)² = 9

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
x + 1 = ±√9
x + 1 = ±3

Ini memberikan dua kemungkinan nilai x:
1. x + 1 = 3  =>  x = 3 - 1  =>  x = 2
2. x + 1 = -3 =>  x = -3 - 1 =>  x = -4

Jadi, titik potong antara lingkaran dan garis y=3 adalah (2, 3) dan (-4, 3).

Sekarang kita perlu mencari garis singgung lingkaran yang melalui titik-titik potong ini. Karena titik potong ini berada pada lingkaran, kita perlu mencari persamaan garis singgung di titik-titik tersebut.

Metode 1: Menggunakan Gradien Garis Singgung
Kita bisa mencari turunan implisit dari persamaan lingkaran untuk mendapatkan gradien (dy/dx):
2(x+1) + 2(y-3) dy/dx = 0
2(y-3) dy/dx = -2(x+1)
dy/dx = - (x+1) / (y-3)

Untuk titik (2, 3):
Gradien m1 = - (2+1) / (3-3) = -3 / 0. Gradien tak terdefinisi, yang berarti garis singgungnya adalah garis vertikal.
Persamaan garis vertikal yang melalui (2, 3) adalah x = 2.

Untuk titik (-4, 3):
Gradien m2 = - (-4+1) / (3-3) = - (-3) / 0 = 3 / 0. Gradien tak terdefinisi, yang berarti garis singgungnya adalah garis vertikal.
Persamaan garis vertikal yang melalui (-4, 3) adalah x = -4.

Perlu diperhatikan bahwa garis y=3 adalah garis horizontal yang melewati pusat lingkaran (-1, 3). Jari-jari yang menghubungkan pusat (-1, 3) ke titik potong (2, 3) adalah garis horizontal. Garis singgung harus tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung. Karena jari-jarinya horizontal, garis singgungnya harus vertikal.

Jarak dari pusat (-1, 3) ke titik (2, 3) adalah |2 - (-1)| = 3, yang sama dengan jari-jari. Jari-jari ini horizontal.
Jarak dari pusat (-1, 3) ke titik (-4, 3) adalah |-4 - (-1)| = |-3| = 3, yang sama dengan jari-jari. Jari-jari ini horizontal.

Oleh karena itu, garis singgung di kedua titik potong tersebut adalah garis vertikal.

Garis singgung di (2, 3) adalah x = 2.
Garis singgung di (-4, 3) adalah x = -4.

Karena soal menanyakan "garis singgung" (tunggal), ini mungkin menyiratkan bahwa hanya satu yang dicari atau ada kekhususan lain. Namun, secara matematis ada dua garis singgung di kedua titik potong tersebut.