Lingkaran (x-1)^2+(y+3)^2=4 dirotasikan sebesar 60

Persamaan hasil rotasi lingkaran adalah $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

Pembahasan

Rotasi lingkaran $(x-1)^2+(y+3)^2=4$ sebesar 60 derajat dilanjutkan sebesar -150 derajat terhadap titik pusat (2,-3) berarti rotasi total sebesar $60 + (-150) = -90$ derajat terhadap titik pusat (2,-3).

Persamaan asli lingkaran adalah $(x-1)^2+(y+3)^2=4$.
Ini adalah lingkaran dengan pusat $(h, k) = (1, -3)$ dan jari-jari $r = 2$.

Rotasi dilakukan terhadap titik pusat $P = (2, -3)$.
Misalkan pusat lingkaran asli adalah $C_{asli} = (1, -3)$.
Kita perlu mencari bayangan dari pusat lingkaran asli setelah rotasi.

Langkah 1: Translasi sehingga pusat rotasi menjadi titik asal.
$C_{asli}' = C_{asli} - P = (1 - 2, -3 - (-3)) = (-1, 0)$.

Langkah 2: Lakukan rotasi pada $C_{asli}'$ sebesar $-90$ derajat.
Rumus rotasi titik $(x, y)$ sebesar $\theta$ terhadap titik asal adalah $(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$.
Di sini, $(x, y) = (-1, 0)$ dan $\theta = -90^\circ$.
$\\cos(-90^\circ) = 0$
$\\sin(-90^\circ) = -1$

$x' = (-1)(0) - (0)(-1) = 0$.
$y' = (-1)(-1) + (0)(0) = 1$.
Jadi, bayangan pusat setelah rotasi adalah $(0, 1)$.

Langkah 3: Translasi kembali bayangan pusat dengan menambahkan koordinat pusat rotasi.
$C_{bayangan} = (0, 1) + P = (0 + 2, 1 + (-3)) = (2, -2)$.

Jari-jari lingkaran tidak berubah setelah rotasi. Jadi, jari-jari hasil rotasi tetap $r = 2$.

Persamaan lingkaran hasil rotasi adalah $(x - h_{bayangan})^2 + (y - k_{bayangan})^2 = r^2$.
$(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$.
$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

Jawaban: Persamaan hasil rotasi lingkaran tersebut adalah $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.