Misal diketahui f(2+a)=3x+4a dan f(a)=2. Tentukan nilai

Dengan asumsi f(x) linear dan beberapa interpretasi pada variabel x, didapatkan f(1) = -1.

Pembahasan

Diberikan informasi f(2+a) = 3x + 4a dan f(a) = 2. Kita perlu menentukan nilai fungsi f(x) untuk x=1. 

Langkah pertama adalah memahami hubungan antara input fungsi dan outputnya. Kita memiliki dua ekspresi yang melibatkan f. Ekspresi pertama, f(2+a) = 3x + 4a, memberikan nilai fungsi ketika inputnya adalah "2+a". Ekspresi kedua, f(a) = 2, memberikan nilai fungsi ketika inputnya adalah "a".

Untuk mencari f(x) saat x=1, kita perlu membuat argumen fungsi sama dengan 1. Mari kita gunakan ekspresi pertama: f(2+a).
Kita ingin 2 + a = 1. Dari sini, kita dapat menyelesaikan untuk 'a':
a = 1 - 2
a = -1.

Sekarang kita substitusikan nilai a = -1 ke dalam ekspresi f(2+a) = 3x + 4a.
Ini berarti kita mengganti 'a' di sisi kanan persamaan dengan -1:
f(2 + (-1)) = 3x + 4(-1)
f(1) = 3x - 4.

Namun, kita dihadapkan pada masalah bahwa nilai 'x' dalam ekspresi "3x - 4" tidak didefinisikan secara independen dari 'a'. Dalam soal seperti ini, seringkali diasumsikan bahwa variabel 'x' yang muncul di sisi kanan adalah variabel independen yang sama dengan argumen fungsi jika argumennya adalah 'x' itu sendiri, atau ada hubungan yang lebih spesifik antara 'x' dan 'a' yang tidak dinyatakan secara eksplisit.

Mari kita pertimbangkan interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini:
Interpretasi 1: Jika f(input) = suatu ekspresi, ekspresi tersebut harus hanya bergantung pada 'input', bukan variabel lain yang tidak terkait. Kemungkinan besar, "3x" di sini seharusnya terkait dengan argumen fungsi, yaitu "2+a". Namun, tidak ada hubungan yang diberikan.

Interpretasi 2 (lebih mungkin dalam konteks soal yang diberikan): Variabel 'x' dalam '3x + 4a' adalah placeholder untuk argumen fungsi itu sendiri, yaitu '2+a'. Jadi, kita bisa menganggap f(input) = 3*(input) + 4a. Jika kita gunakan ini, maka f(2+a) = 3(2+a) + 4a = 6 + 3a + 4a = 6 + 7a. Tapi ini bertentangan dengan f(2+a) = 3x + 4a.

Interpretasi 3 (paling masuk akal jika soal ini berasal dari sumber standar): 'x' di '3x + 4a' adalah variabel yang berbeda, dan kita perlu menggunakan informasi kedua, f(a)=2, untuk menemukan nilai 'a' yang konsisten atau untuk menentukan bentuk fungsi secara umum.

Jika kita kembali ke f(1) = 3x - 4. Jika kita menganggap bahwa 'x' di sini adalah variabel yang sama yang ingin kita cari nilainya, yaitu x=1, maka:
f(1) = 3(1) - 4
f(1) = 3 - 4
f(1) = -1.

Namun, kita juga diberikan f(a) = 2. Jika kita menggunakan a = -1 dari langkah sebelumnya, maka f(-1) = 2. Ini bertentangan dengan hasil f(1) = -1 yang kita dapatkan.

Mari kita coba pendekatan lain. Mungkin ada kesalahan dalam penyalinan soal atau ada informasi yang hilang. Namun, jika kita harus melanjutkan dengan informasi yang ada, mari kita lihat apakah ada cara untuk mendefinisikan f(x) secara umum.

Dari f(a) = 2, kita tahu bahwa ketika inputnya adalah 'a', outputnya adalah 2. 
Dari f(2+a) = 3x + 4a, kita tahu bahwa ketika inputnya adalah '2+a', outputnya adalah '3x + 4a'.

Jika kita mengasumsikan bahwa 'x' di sini adalah variabel bebas yang tidak terkait dengan 'a' atau argumen fungsi, maka kita tidak bisa menentukan nilai f(1) secara unik tanpa mengetahui nilai 'x'.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa f(z) adalah fungsi linear, misalnya f(z) = mz + c. 
 Maka f(a) = ma + c = 2.
 Dan f(2+a) = m(2+a) + c = 2m + ma + c. 
 Kita tahu ma + c = 2, jadi f(2+a) = 2m + 2.
 Diberikan f(2+a) = 3x + 4a. Maka 2m + 2 = 3x + 4a.
 Ini masih menyisakan banyak ketidakpastian.

Mari kita kembali ke interpretasi bahwa 'x' di sisi kanan persamaan f(2+a) = 3x + 4a merujuk pada argumen fungsi. Ini adalah interpretasi yang tidak standar tetapi kadang muncul dalam soal.
Jika f(input) = 3*(input) + 4a, maka:
f(2+a) = 3(2+a) + 4a = 6 + 3a + 4a = 6 + 7a.
Jadi, 6 + 7a = 3x + 4a.
Ini juga tidak membantu.

Asumsi yang paling mungkin untuk membuat soal ini dapat diselesaikan adalah bahwa 'x' dalam '3x + 4a' adalah variabel independen dan kita perlu mencari nilai 'a' yang memungkinkan kita menggunakan f(a)=2. 

Jika kita bersikeras bahwa f(1) harus memiliki nilai numerik tunggal, maka 'x' haruslah suatu konstanta atau dapat ditentukan. 

Mari kita coba pendekatan lain: Coba buat argumen f(a) menjadi 2+a. 
Jika f(z) = k, maka k=2.

Mari kita kembali ke f(2+a) = 3x + 4a dan kita ingin mencari f(1). Kita menemukan a=-1 agar 2+a=1.
Maka f(1) = 3x + 4(-1) = 3x - 4.

Sekarang gunakan f(a)=2. Dengan a=-1, kita dapatkan f(-1) = 2.
Jika f(x) = mx+c:
 f(-1) = m(-1)+c = -m+c = 2.
 f(1) = m(1)+c = m+c.
Kita punya f(1) = 3x - 4.
Jadi m+c = 3x - 4.
Kita punya dua persamaan dengan tiga variabel (m, c, x):
1) -m + c = 2
2) m + c = 3x - 4

Jika kita jumlahkan kedua persamaan:
(-m+c) + (m+c) = 2 + (3x - 4)
2c = 3x - 2
c = (3x - 2) / 2.

Jika kita kurangkan persamaan 1 dari persamaan 2:
(m+c) - (-m+c) = (3x - 4) - 2
2m = 3x - 6
m = (3x - 6) / 2.

Jadi, f(x) = [(3x - 6)/2] * x + [(3x - 2)/2].
Ini masih bergantung pada 'x'.

Ada kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan penulisan atau informasi yang kurang. Namun, jika kita dipaksa untuk memberikan jawaban numerik, salah satu interpretasi yang mungkin adalah:

Interpretasi yang seringkali muncul di beberapa konteks soal (meskipun secara matematis kurang ketat) adalah bahwa 'x' dalam '3x + 4a' secara implisit adalah argumen fungsi tersebut ketika argumennya adalah '2+a'. Jika f(z) = 3z + 4a (dimana 'a' adalah konstanta yang belum diketahui), maka:
f(2+a) = 3(2+a) + 4a = 6 + 3a + 4a = 6 + 7a.
Jadi, 6 + 7a = 3x + 4a. Jika kita menganggap 'x' sama dengan '2+a', maka:
6 + 7a = 3(2+a) + 4a
6 + 7a = 6 + 3a + 4a
6 + 7a = 6 + 7a. Ini adalah identitas dan tidak memberikan informasi.

Kembali ke asumsi bahwa f(1) = 3x - 4, dan f(a) = 2. Kita perlu membuat 'a' menjadi sesuatu yang spesifik agar bisa dicocokkan dengan f(1).

Jika kita mengasumsikan bahwa variabel 'x' yang muncul di f(2+a) = 3x + 4a adalah nilai dari 'x' yang ditanyakan di f(x) untuk x=1. Maka:
Kita mencari f(1). Kita tahu f(2+a) = 3x + 4a. Agar 2+a = 1, maka a = -1.
Jadi, f(1) = 3x + 4(-1) = 3x - 4.
Jika kita sekarang mengasumsikan bahwa 'x' yang muncul di sini adalah x=1 (nilai yang ingin kita cari), maka:
f(1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1.

Namun, kita juga punya f(a) = 2. Jika kita pakai a=-1, maka f(-1) = 2.
Jika f(x) = mx+c, maka:
f(1) = m+c = -1
f(-1) = -m+c = 2
Menjumlahkan keduanya: 2c = 1 => c = 1/2.
Substitusi c ke persamaan pertama: m + 1/2 = -1 => m = -3/2.
Jadi, f(x) = -3/2 x + 1/2.
Mari kita cek f(2+a). Jika a=-1, maka 2+a = 1.
f(1) = -3/2 (1) + 1/2 = -2/2 = -1. Ini konsisten.
Namun, soal menyatakan f(2+a) = 3x + 4a. Dengan a=-1, f(1) = 3x - 4.
Jadi, -1 = 3x - 4 => 3x = 3 => x = 1.
Ini menunjukkan bahwa jika f(x) = -3/2 x + 1/2, maka nilai 'x' yang dimaksud dalam soal adalah 1.

Maka, nilai fungsi f(x) untuk x=1 adalah f(1) = -1.