Lingkaran x^2+y^2+4x-2y-4=0 dirotasikan sebesar 90 searah

x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran awal adalah x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0.
Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita ubah persamaan ke bentuk umum (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Lengkapi kuadrat:
(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 + 1
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9

Jadi, pusat lingkaran adalah (-2, 1) dan jari-jarinya adalah r = sqrt(9) = 3.

Lingkaran dirotasikan sebesar 90 derajat searah putaran jarum jam terhadap titik pusat (0, 0).
Rotasi sebesar -90 derajat (atau 270 derajat berlawanan arah jarum jam) terhadap titik pusat (0,0) memiliki matriks transformasi:
[ cos(-90)  -sin(-90) ]   =   [ 0  1 ]
[ sin(-90)   cos(-90) ]       [ -1 0 ]

Jika titik (x, y) dirotasikan sebesar -90 derajat terhadap (0,0), bayangannya adalah (x', y') dimana:
x' = y
y' = -x

Untuk rotasi sebesar 90 derajat searah jarum jam, kita dapat menggunakan aturan bahwa bayangan (x', y') dari titik (x, y) adalah (y, -x).

Pusat lingkaran P(-2, 1) dirotasikan 90 derajat searah jarum jam terhadap (0, 0).
Koordinat pusat bayangan P':
x' = 1
y' = -(-2) = 2
Jadi, pusat lingkaran hasil rotasi adalah (1, 2).

Jari-jari lingkaran tidak berubah akibat rotasi, jadi jari-jari hasil rotasi tetap r = 3.

Persamaan lingkaran hasil rotasi dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 3 adalah:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9

Jabarkan persamaan tersebut:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 9
x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0

Jadi, persamaan lingkaran hasil rotasi tersebut adalah x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0.