Luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaany<=-1/2

Luas daerah penyelesaiannya adalah 16/3 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y <= -1/2 x^2 + 8 dan 2x + y >= 8, kita perlu mencari titik potong kedua kurva dan mengidentifikasi daerah yang memenuhi kedua kondisi.

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari kurva:
   a) y = -1/2 x^2 + 8 (Persamaan parabola)
   b) y = -2x + 8 (Persamaan garis lurus)

2. Cari titik potong kedua kurva dengan menyamakan kedua persamaan:
   -1/2 x^2 + 8 = -2x + 8
   -1/2 x^2 = -2x
   Kalikan kedua sisi dengan -2:
   x^2 = 4x
   x^2 - 4x = 0
   x(x - 4) = 0
   Jadi, x = 0 atau x = 4.

3. Cari nilai y pada titik potong:
   Jika x = 0, y = -2(0) + 8 = 8. Titik potong pertama: (0, 8).
   Jika x = 4, y = -2(4) + 8 = -8 + 8 = 0. Titik potong kedua: (4, 0).

4. Tentukan daerah penyelesaian:
   a) y <= -1/2 x^2 + 8: Daerah ini berada di bawah atau pada kurva parabola. Parabola terbuka ke bawah, dengan puncak di (0, 8).
   b) 2x + y >= 8  atau y >= -2x + 8: Daerah ini berada di atas atau pada garis lurus.

5. Visualisasikan daerah penyelesaian:
   Kita perlu mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = -1/2 x^2 + 8 dan garis lurus y = -2x + 8, di antara titik potong x=0 dan x=4.
   Karena y <= -1/2 x^2 + 8 (di bawah parabola) dan y >= -2x + 8 (di atas garis), maka daerah penyelesaian adalah daerah di antara kedua kurva tersebut.

6. Hitung luas daerah menggunakan integral:
   Luas = Integral dari [ (batas atas) - (batas bawah) ] dx dari x1 ke x2.
   Batas atas adalah kurva parabola (y = -1/2 x^2 + 8).
   Batas bawah adalah kurva garis (y = -2x + 8).
   Batas integrasi adalah dari x = 0 sampai x = 4.

   Luas = Integral dari [ (-1/2 x^2 + 8) - (-2x + 8) ] dx dari 0 ke 4
   Luas = Integral dari [ -1/2 x^2 + 8 + 2x - 8 ] dx dari 0 ke 4
   Luas = Integral dari [ -1/2 x^2 + 2x ] dx dari 0 ke 4

7. Lakukan integrasi:
   Integral dari -1/2 x^2 dx = -1/2 * (x^3 / 3) = -1/6 x^3
   Integral dari 2x dx = 2 * (x^2 / 2) = x^2

   Jadi, integralnya adalah [ -1/6 x^3 + x^2 ] dari 0 ke 4.

8. Evaluasi integral pada batas:
   [ -1/6 (4)^3 + (4)^2 ] - [ -1/6 (0)^3 + (0)^2 ]
   [ -1/6 (64) + 16 ] - [ 0 ]
   [ -64/6 + 16 ]
   [ -32/3 + 16 ]
   Samakan penyebut:
   [ -32/3 + 48/3 ]
   [ (48 - 32) / 3 ]
   = 16/3

Jadi, luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah 16/3 satuan luas.