Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x-x^2, sumbu-X,

Luas daerah tersebut adalah 8/3 satuan luas.

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2x - x^2$, sumbu-X, garis $x = -1$, dan $x = 2$, kita perlu menghitung integral tentu dari fungsi tersebut pada interval $[-1, 2]$. Pertama, kita tentukan titik potong kurva dengan sumbu-X dengan mengatur $y=0$: $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$. Jadi, titik potongnya adalah $x=0$ dan $x=2$. Kurva $y=2x-x^2$ adalah parabola yang terbuka ke bawah. Pada interval $[-1, 0]$, kurva berada di bawah sumbu-X, sehingga nilai integralnya negatif. Pada interval $[0, 2]$, kurva berada di atas sumbu-X, sehingga nilai integralnya positif. Luas total adalah jumlah nilai absolut dari integral pada setiap sub-interval di mana tanda fungsi berubah. Atau, kita bisa langsung mengintegralkan dari -1 sampai 2 dan memperhatikan bahwa sebagian area akan dihitung sebagai negatif jika kita tidak menggunakan nilai absolut. Namun, jika pertanyaan merujuk pada luas daerah yang dibatasi (biasanya diartikan sebagai luas positif), kita perlu mempertimbangkan nilai absolut. Mari kita hitung integralnya: $\int_{-1}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{2}$. Evaluasi pada batas atas: $(2^2 - \frac{1}{3}(2)^3) = (4 - \frac{8}{3})$. Evaluasi pada batas bawah: $((-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3) = (1 - (-\frac{1}{3})) = (1 + \frac{1}{3})$. Selisihnya adalah: $(4 - \frac{8}{3}) - (1 + \frac{1}{3}) = 4 - \frac{8}{3} - 1 - \frac{1}{3} = 3 - \frac{9}{3} = 3 - 3 = 0$. Hasil integralnya adalah 0. Ini berarti luas di atas sumbu-X sama dengan luas di bawah sumbu-X dalam interval tersebut. Namun, interpretasi luas daerah yang dibatasi biasanya adalah luas positif. Mari kita hitung luasnya dengan memecah interval: $\int_{-1}^{0} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{0} = (0 - 0) - ((-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3) = -(1 + \frac{1}{3}) = -\frac{4}{3}$. Luas bagian ini adalah $|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$. $\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{1}{3}(2)^3) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$. Luas bagian ini adalah $|rac{4}{3}| = \frac{4}{3}$. Luas total = $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.