Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=3-x^2 dan y=2|x|

10/3

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=3-x^2 dan y=2|x|, kita perlu mencari titik potong kedua kurva tersebut. Karena ada nilai mutlak pada y=2|x|, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: x >= 0, maka y = 2x.
Titik potong dengan y = 3-x^2:
2x = 3-x^2
x^2 + 2x - 3 = 0
(x+3)(x-1) = 0
Karena x >= 0, maka x = 1.
Pada x=1, y = 2(1) = 2.

Kasus 2: x < 0, maka y = -2x.
Titik potong dengan y = 3-x^2:
-2x = 3-x^2
x^2 - 2x - 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
Karena x < 0, maka x = -1.
Pada x=-1, y = -2(-1) = 2.

Jadi, titik potongnya adalah (-1, 2) dan (1, 2).

Karena kurva y=3-x^2 adalah parabola terbuka ke bawah dengan puncak di (0, 3), dan kurva y=2|x| adalah dua garis lurus yang bertemu di (0, 0), daerah yang dibatasi berada di antara x=-1 dan x=1. Di interval ini, kurva y=3-x^2 berada di atas kurva y=2|x|.

Luas daerah dapat dihitung dengan integral:
Luas = integral dari -1 sampai 1 [(3-x^2) - 2|x|] dx
Karena fungsi di dalam integral adalah fungsi genap, kita bisa menghitung dari 0 sampai 1 dan mengalikannya dengan 2:
Luas = 2 * integral dari 0 sampai 1 [(3-x^2) - 2x] dx
Luas = 2 * [3x - (1/3)x^3 - x^2] dari 0 sampai 1
Luas = 2 * [(3(1) - (1/3)(1)^3 - (1)^2) - (3(0) - (1/3)(0)^3 - (0)^2)]
Luas = 2 * [3 - 1/3 - 1]
Luas = 2 * [2 - 1/3]
Luas = 2 * [5/3]
Luas = 10/3

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=3-x^2 dan y=2|x| adalah 10/3.