Menggunakan rumus perkalian sinus dan cosinus, buktikan

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus perkalian sinus dan cosinus \(2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)\).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas \(2\cos (\frac{\pi}{4}+\theta) \cos (\frac{3\pi}{4}-\theta)=\sin 2\theta-1\) menggunakan rumus perkalian sinus dan cosinus, kita gunakan rumus \(2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)\). Dalam kasus ini, \(A = \frac{\pi}{4}+\theta\) dan \(B = \frac{3\pi}{4}-\theta\). 

\(A+B = (\frac{\pi}{4}+\theta) + (\frac{3\pi}{4}-\theta) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi\)

\(A-B = (\frac{\pi}{4}+\theta) - (\frac{3\pi}{4}-\theta) = \frac{\pi}{4} + \theta - \frac{3\pi}{4} + \theta = -\frac{2\pi}{4} + 2\theta = -\frac{\pi}{2} + 2\theta\)

Sehingga, \(2\cos (\frac{\pi}{4}+\theta) \cos (\frac{3\pi}{4}-\theta) = \cos(\pi) + \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\theta)\). 

Kita tahu bahwa \(\cos(\pi) = -1\) dan \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Juga, \(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)\) dan \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)\). 

Jadi, \(\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta) = \sin(2\theta)\).

Dengan menggabungkan kedua hasil tersebut, kita mendapatkan: \(-1 + \sin(2\theta)\) atau \(\sin(2\theta) - 1\). Ini membuktikan identitas tersebut.