Misal ada dua bilangan. Tiga kali bilangan pertama ditambah

Interval nilai x adalah [-5, 8] dan interval nilai y adalah [-8, 31].

Pembahasan

Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y.
Berdasarkan informasi yang diberikan, kita dapat membentuk dua pertidaksamaan:
1. Tiga kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua tidak kurang dari 16:
   3x + y ≥ 16
2. Kuadrat bilangan pertama ditambah bilangan kedua tidak lebih dari 56:
   x² + y ≤ 56

Dari pertidaksamaan pertama, kita dapat menyatakan y dalam bentuk x:
y ≥ 16 - 3x

Dari pertidaksamaan kedua, kita juga dapat menyatakan y dalam bentuk x:
y ≤ 56 - x²

Sekarang kita memiliki dua batasan untuk y:
16 - 3x ≤ y ≤ 56 - x²

Agar ada nilai y yang memenuhi, maka batas bawah harus lebih kecil atau sama dengan batas atas:
16 - 3x ≤ 56 - x²

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
x² - 3x + 16 - 56 ≤ 0
x² - 3x - 40 ≤ 0

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 3x - 40 = 0 untuk menentukan interval x.
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(x - 8)(x + 5) = 0

Akar-akarnya adalah x = 8 dan x = -5.
Karena pertidaksamaannya adalah x² - 3x - 40 ≤ 0, maka nilai x berada di antara akar-akarnya (inklusif).
Jadi, interval nilai untuk bilangan pertama (x) adalah -5 ≤ x ≤ 8.

Selanjutnya, kita perlu menentukan interval nilai untuk bilangan kedua (y) berdasarkan interval x yang telah ditemukan.

Untuk batas bawah y (y ≥ 16 - 3x):
Ketika x = -5, y ≥ 16 - 3(-5) = 16 + 15 = 31
Ketika x = 8, y ≥ 16 - 3(8) = 16 - 24 = -8
Karena y harus lebih besar atau sama dengan 16 - 3x, nilai minimum y akan bergantung pada nilai x.

Untuk batas atas y (y ≤ 56 - x²):
Ketika x = -5, y ≤ 56 - (-5)² = 56 - 25 = 31
Ketika x = 8, y ≤ 56 - (8)² = 56 - 64 = -8

Sekarang kita perlu mencari interval y yang memenuhi kedua kondisi tersebut untuk seluruh interval x.
Untuk -5 ≤ x ≤ 8:

Mari kita tinjau nilai ekstrem dari 16 - 3x dan 56 - x²:
Nilai maksimum dari 16 - 3x pada interval [-5, 8] terjadi saat x = -5, yaitu 31.
Nilai minimum dari 56 - x² pada interval [-5, 8] terjadi saat x = 8, yaitu -8.

Jadi, kita memiliki:
Untuk setiap x di [-5, 8], y harus memenuhi 16 - 3x ≤ y ≤ 56 - x².

Interval nilai untuk bilangan pertama (x) adalah [-5, 8].

Untuk menemukan interval nilai y, kita perlu mempertimbangkan nilai minimum dan maksimum yang mungkin dicapai oleh y dalam rentang x tersebut.
Nilai minimum y akan terjadi ketika 16 - 3x adalah minimum, atau ketika 56 - x² adalah minimum.
Nilai maksimum y akan terjadi ketika 16 - 3x adalah maksimum, atau ketika 56 - x² adalah maksimum.

Kita tahu bahwa 16 - 3x ≥ 16 - 3(8) = -8 dan 16 - 3x ≤ 16 - 3(-5) = 31.
Kita tahu bahwa 56 - x² ≤ 56 - (-5)² = 31 dan 56 - x² ≥ 56 - (8)² = -8.

Untuk setiap x dalam interval [-5, 8], nilai y harus berada di antara 16-3x dan 56-x^2. Kita perlu menemukan rentang y yang mencakup semua kemungkinan nilai y.

Consider the function f(x) = 16 - 3x and g(x) = 56 - x². We need the range of y such that there exists an x in [-5, 8] with f(x) <= y <= g(x).

Untuk menemukan batas bawah y, kita perlu mencari nilai minimum dari y. Nilai y dibatasi oleh f(x) dan g(x). Kita perlu mencari nilai minimum dari kedua fungsi pada interval x. Namun, y juga harus memenuhi y >= f(x) dan y <= g(x). 

Mari kita pertimbangkan nilai y yang mungkin. Dari 16 - 3x ≤ y ≤ 56 - x²:

Nilai minimum yang mungkin untuk y:
Ambil kasus di mana 56 - x² mencapai nilai terendahnya, yaitu -8 (saat x=8). Pada saat yang sama, 16 - 3x = 16 - 3(8) = -8. Jadi y >= -8.
Ambil kasus di mana 16 - 3x mencapai nilai terendahnya, yaitu -8 (saat x=8). Pada saat yang sama, 56 - x² = 56 - 8² = -8. Jadi y <= -8.

Perhatikan bahwa pada x=8, kedua batas sama yaitu -8. Jadi y=-8 adalah nilai yang mungkin.

Nilai maksimum yang mungkin untuk y:
Ambil kasus di mana 16 - 3x mencapai nilai tertingginya, yaitu 31 (saat x=-5). Pada saat yang sama, 56 - x² = 56 - (-5)² = 31. Jadi y <= 31.
Ambil kasus di mana 56 - x² mencapai nilai tertingginya, yaitu 31 (saat x=-5). Pada saat yang sama, 16 - 3x = 16 - 3(-5) = 31. Jadi y >= 31.

Perhatikan bahwa pada x=-5, kedua batas sama yaitu 31. Jadi y=31 adalah nilai yang mungkin.

Namun, kita harus memastikan bahwa untuk setiap y dalam interval yang kita tentukan, ada x yang memenuhi pertidaksamaan. 

Interval nilai x adalah [-5, 8].
Untuk setiap x dalam interval ini, y harus berada dalam rentang [16-3x, 56-x²].

Kita perlu menemukan rentang y yang mencakup semua kemungkinan nilai y.
Nilai minimum y yang mungkin adalah nilai minimum dari max(16-3x, 56-x²) pada interval x.
Nilai maksimum y yang mungkin adalah nilai maksimum dari min(16-3x, 56-x²) pada interval x.

Ini terlalu rumit. Mari kita kembali ke pertidaksamaan awal:
3x + y ≥ 16  => y ≥ 16 - 3x
x² + y ≤ 56  => y ≤ 56 - x²

Kita telah menemukan bahwa -5 ≤ x ≤ 8.

Sekarang kita perlu menemukan interval nilai y.
Dari y ≥ 16 - 3x:
Nilai minimum y adalah ketika 16 - 3x minimum. Nilai minimum dari 16 - 3x pada [-5, 8] adalah 16 - 3(8) = -8.
Jadi, y ≥ -8.

Dari y ≤ 56 - x²:
Nilai maksimum y adalah ketika 56 - x² maksimum. Nilai maksimum dari 56 - x² pada [-5, 8] terjadi saat x=0, yaitu 56 - 0² = 56. Namun, x harus dalam [-5, 8].
Nilai maksimum dari 56 - x² pada [-5, 8] terjadi saat x=0, yaitu 56. Tetapi kita harus mempertimbangkan nilai ekstrem dari x.

Saat x = -5, y ≤ 56 - (-5)² = 31.
Saat x = 8, y ≤ 56 - (8)² = -8.

Jadi, kita memiliki y ≥ 16 - 3x dan y ≤ 56 - x².
Kita juga tahu -5 ≤ x ≤ 8.

Jika kita ingin menemukan interval y, kita harus memastikan bahwa untuk setiap y dalam interval tersebut, ada setidaknya satu x di [-5, 8] yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Mari kita analisis grafik dari y = 16 - 3x dan y = 56 - x².
Kita mencari area di mana garis y = 16 - 3x berada di bawah atau sama dengan garis y = 56 - x², yang kita sudah tentukan terjadi untuk x dalam [-5, 8].

Dalam area ini, y dibatasi oleh kedua fungsi.

Nilai y minimum yang mungkin terjadi ketika salah satu batas y mencapai nilai terendahnya.
Batas bawah y adalah 16 - 3x. Nilai terendahnya adalah -8 (saat x=8).
Batas atas y adalah 56 - x². Nilai terendahnya adalah -8 (saat x=8).
Jadi, nilai minimum y yang mungkin adalah -8.

Nilai y maksimum yang mungkin terjadi ketika salah satu batas y mencapai nilai tertingginya.
Batas bawah y adalah 16 - 3x. Nilai tertingginya adalah 31 (saat x=-5).
Batas atas y adalah 56 - x². Nilai tertingginya adalah 31 (saat x=-5).
Jadi, nilai maksimum y yang mungkin adalah 31.

Interval nilai untuk bilangan pertama (x) adalah [-5, 8].
Interval nilai untuk bilangan kedua (y) adalah [-8, 31].