Misalkan x adalah suatu bilangan bulat dan x^(2)+5 x+6

Nilai $x$ adalah -1 atau -4.

Pembahasan

Misalkan persamaan kuadratnya adalah $P(x) = x^2 + 5x + 6$. Kita ingin mencari nilai bilangan bulat $x$ sehingga $P(x)$ adalah bilangan prima.

Kita dapat memfaktorkan ekspresi kuadrat tersebut:
$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$

Agar hasil perkalian dua bilangan bulat $(x+2)$ dan $(x+3)$ menjadi bilangan prima, salah satu faktor harus bernilai 1 atau -1, dan faktor lainnya harus bernilai prima atau negatif dari prima.

Kasus 1: Salah satu faktor adalah 1.

Subkasus 1.1: $x+2 = 1$
Maka $x = 1 - 2 = -1$.
Jika $x = -1$, maka $x+3 = -1 + 3 = 2$.
Hasil perkaliannya adalah $(1)(2) = 2$. Bilangan 2 adalah bilangan prima.

Subkasus 1.2: $x+3 = 1$
Maka $x = 1 - 3 = -2$.
Jika $x = -2$, maka $x+2 = -2 + 2 = 0$.
Hasil perkaliannya adalah $(0)(1) = 0$. Bilangan 0 bukan bilangan prima.

Kasus 2: Salah satu faktor adalah -1.

Subkasus 2.1: $x+2 = -1$
Maka $x = -1 - 2 = -3$.
Jika $x = -3$, maka $x+3 = -3 + 3 = 0$.
Hasil perkaliannya adalah $(-1)(0) = 0$. Bilangan 0 bukan bilangan prima.

Subkasus 2.2: $x+3 = -1$
Maka $x = -1 - 3 = -4$.
Jika $x = -4$, maka $x+2 = -4 + 2 = -2$.
Hasil perkaliannya adalah $(-2)(-1) = 2$. Bilangan 2 adalah bilangan prima.

Jadi, nilai-nilai bilangan bulat $x$ yang membuat $x^2 + 5x + 6$ menjadi bilangan prima adalah $x = -1$ dan $x = -4$.

Kedua nilai ini menghasilkan nilai prima 2.

Nilai $x$ adalah -1 atau -4.