Model matematika biaya minimum pemasangan iklan dirumuskan

Biaya minimum adalah Rp 320.000.000, terjadi saat x=160 dan y=0.

Pembahasan

Untuk menentukan biaya minimum pemasangan iklan menggunakan metode garis selidik, kita perlu mencari titik pojok dari daerah penyelesaian yang memenuhi kendala, kemudian mensubstitusikannya ke dalam fungsi tujuan.

Fungsi Tujuan (Biaya Minimum):
Minimum f(x, y) = 2.000.000x + 12.000.000y

Kendala:
1.  300.000x + 2.400.000y >= 7.200.000
    (Sederhanakan dengan membagi 300.000: x + 8y >= 24)
2.  40.000x + 160.000y >= 6.400.000
    (Sederhanakan dengan membagi 40.000: x + 4y >= 160)
3.  x >= 0
4.  y >= 0

**Langkah 1: Cari titik potong dari garis kendala**

a.  Garis 1: x + 8y = 24
    *   Jika x = 0, maka 8y = 24 => y = 3. Titik: (0, 3)
    *   Jika y = 0, maka x = 24. Titik: (24, 0)

b.  Garis 2: x + 4y = 160
    *   Jika x = 0, maka 4y = 160 => y = 40. Titik: (0, 40)
    *   Jika y = 0, maka x = 160. Titik: (160, 0)

c.  **Titik Potong Antar Garis:**
    Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2) (setelah disesuaikan agar koefisien x sama):
    (x + 4y = 160) - (x + 8y = 24)
    ------------------
    -4y = 136
    y = 136 / -4
    y = -34
    Karena y harus >= 0, titik potong ini tidak relevan untuk daerah penyelesaian di kuadran I.

    *Catatan Penting: Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau angka yang diberikan, karena kendala "x + 4y >= 160" menghasilkan nilai-nilai yang jauh lebih besar daripada "x + 8y >= 24" untuk x,y positif. Jika kita mengasumsikan kendala kedua adalah "x + 4y <= 160" atau angka yang berbeda, hasilnya akan berbeda. Namun, berdasarkan soal yang diberikan, kita akan analisis kendala seperti adanya.* 

    Mari kita periksa kembali kendala dan interpretasi "daerah penyelesaian". Karena kita mencari minimum dan kendalanya adalah '>=' (di atas garis), daerah penyelesaiannya adalah tak terbatas ke atas dan ke kanan. Dalam kasus seperti ini, jika koefisien fungsi tujuan positif, minimum biasanya terjadi pada titik potong terdekat dengan pusat koordinat yang memenuhi kendala.

    Mari kita cek titik-titik yang dibatasi oleh sumbu koordinat dan garis:
    *   Titik A (terdekat dengan asal pada Garis 1): (24, 0)
    *   Titik B (terdekat dengan asal pada Garis 2): (160, 0)
    *   Titik C (terdekat dengan asal pada Garis 1, sumbu y): (0, 3)
    *   Titik D (terdekat dengan asal pada Garis 2, sumbu y): (0, 40)

    Karena kedua kendala adalah '>=' dan kita mencari minimum, kita perlu mempertimbangkan daerah di mana kedua kondisi terpenuhi. Daerah penyelesaiannya akan berada di luar segmen garis yang dibentuk oleh kedua kendala. Titik-titik pojok yang relevan adalah titik di mana kendala memotong sumbu atau satu sama lain (jika membentuk batas bawah daerah).

    Karena x >= 0 dan y >= 0, kita berada di kuadran I. Kendala x + 8y >= 24 dan x + 4y >= 160 berarti daerah penyelesaian berada di atas kedua garis tersebut.

    Titik-titik pojok yang perlu diuji adalah:
    1.  Titik potong x + 8y = 24 dengan sumbu x (y=0): (24, 0)
    2.  Titik potong x + 4y = 160 dengan sumbu x (y=0): (160, 0)
    3.  Titik potong x + 8y = 24 dengan sumbu y (x=0): (0, 3)
    4.  Titik potong x + 4y = 160 dengan sumbu y (x=0): (0, 40)
    5.  Titik potong antara x + 8y = 24 dan x + 4y = 160. Kita sudah hitung y = -34, yang tidak valid.

    *Ada kemungkinan soal mengharapkan kita mencari titik yang memenuhi kedua kendala secara bersamaan dan terletak pada batas daerah minimum. Mari kita periksa kembali titik potong kedua kendala jika kita mengabaikan tanda ketidaksamaan untuk sementara:* 
    x + 8y = 24
    x + 4y = 160
    Mengurangkan: 4y = -136 => y = -34. Maka x = 24 - 8(-34) = 24 + 272 = 296. Titik (296, -34).

    Ini menunjukkan bahwa kedua garis tidak berpotongan di kuadran pertama. Garis x + 4y = 160 berada 'di atas' dan 'di luar' garis x + 8y = 24 di kuadran pertama.

    Daerah penyelesaian adalah area di atas kedua garis. Titik-titik pojok yang perlu diuji adalah titik-titik di mana garis-garis kendala membatasi daerah yang layak (feasible region). Dalam kasus ini, karena kita mencari minimum dan daerahnya tidak terbatas ke atas, titik minimum harus terjadi di salah satu titik potong dengan sumbu koordinat yang memenuhi kedua kendala.

    Mari uji titik pojok yang mungkin:
    *   Titik (24, 0): Memenuhi x+8y>=24 (24>=24), Memenuhi x+4y>=160 (24>=160 - TIDAK).
    *   Titik (160, 0): Memenuhi x+8y>=24 (160>=24), Memenuhi x+4y>=160 (160>=160 - YA).
    *   Titik (0, 3): Memenuhi x+8y>=24 (24>=24), Memenuhi x+4y>=160 (12>=160 - TIDAK).
    *   Titik (0, 40): Memenuhi x+8y>=24 (320>=24), Memenuhi x+4y>=160 (160>=160 - YA).

    Titik pojok yang memenuhi KEDUA kendala adalah (160, 0) dan (0, 40).
    Sekarang kita substitusikan titik-titik ini ke dalam fungsi tujuan f(x, y) = 2.000.000x + 12.000.000y:

    *   Untuk titik (160, 0):
        f(160, 0) = 2.000.000 * 160 + 12.000.000 * 0
        f(160, 0) = 320.000.000 + 0
        f(160, 0) = 320.000.000

    *   Untuk titik (0, 40):
        f(0, 40) = 2.000.000 * 0 + 12.000.000 * 40
        f(0, 40) = 0 + 480.000.000
        f(0, 40) = 480.000.000

    Berdasarkan perhitungan ini, biaya minimumnya adalah Rp 320.000.000 yang terjadi jika x = 160 dan y = 0.

    **Metode Garis Selidik:**
    Kita bisa menggambar garis selidik, misalnya 2.000.000x + 12.000.000y = k. Kita geser garis ini (dengan gradien -2/12 = -1/6) ke arah yang meminimalkan nilai k, sambil tetap menyentuh daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian berada di atas kedua garis (x+8y=24 dan x+4y=160). Titik pojok yang relevan adalah (160, 0) dan (0, 40).
    Menguji nilai k pada titik-titik pojok ini akan mengkonfirmasi hasil di atas.

    **Kesimpulan:** Biaya minimum pemasangan iklan adalah Rp 320.000.000.