Nilai dari akar(3)sin 80sin 160sin 320 adalah

-3/8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri. Soal ini meminta nilai dari $\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(160^{\circ}) \sin(320^{\circ})$.

Kita tahu bahwa $\sin(180^{\circ} - x) = \sin(x)$ dan $\sin(360^{\circ} - x) = -\sin(x)$.
Sehingga:
$\sin(160^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin(20^{\circ})$
$\sin(320^{\circ}) = \sin(360^{\circ} - 40^{\circ}) = -\sin(40^{\circ})$

Maka ekspresinya menjadi: $\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(20^{\circ}) (-\sin(40^{\circ}))$ = $-\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ})$.

Kita juga tahu identitas:
$\sin(x) \sin(60^{\circ}-x) \sin(60^{\circ}+x) = \frac{1}{4} \sin(3x)$.

Mari kita susun ulang ekspresi kita agar sesuai dengan identitas ini:
 $-\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ})$
Kita bisa menulis $\sin(80^{\circ})$ sebagai $\cos(10^{\circ})$ atau $\sin(60^{\circ}+20^{\circ})$.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan identitas perkalian ke penjumlahan:
$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

$-\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) [\sin(160^{\circ}) \sin(320^{\circ})]$

$\sin(160^{\circ}) \sin(320^{\circ}) = \frac{1}{2} [\cos(160^{\circ}-320^{\circ}) - \cos(160^{\circ}+320^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(-160^{\circ}) - \cos(480^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(160^{\circ}) - \cos(480^{\circ}-360^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(160^{\circ}) - \cos(120^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [-\cos(20^{\circ}) - (-\frac{1}{2})]$
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - \cos(20^{\circ})]$

Sekarang, substitusikan kembali:
$-\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \times \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - \cos(20^{\circ})]$
$= $-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(80^{\circ}) [\frac{1}{2} - \cos(20^{\circ})]$
$= $-\frac{\sqrt{3}}{2} [\frac{1}{2}\sin(80^{\circ}) - \sin(80^{\circ})\cos(20^{\circ})]$

Menggunakan identitas $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$:
$\sin(80^{\circ})\cos(20^{\circ}) = \frac{1}{2} [\sin(80^{\circ}+20^{\circ}) + \sin(80^{\circ}-20^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\sin(100^{\circ}) + \sin(60^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\sin(180^{\circ}-80^{\circ}) + \frac{\sqrt{3}}{2}]$
$= \frac{1}{2} [\sin(80^{\circ}) + \frac{\sqrt{3}}{2}]$

Substitusikan kembali:
$= -\frac{\sqrt{3}}{2} [\frac{1}{2}\sin(80^{\circ}) - \frac{1}{2} (\sin(80^{\circ}) + \frac{\sqrt{3}}{2})]$
$= -\frac{\sqrt{3}}{2} [\frac{1}{2}\sin(80^{\circ}) - \frac{1}{2}\sin(80^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4}]$
$= -\frac{\sqrt{3}}{2} [-\frac{\sqrt{3}}{4}]$
$= \frac{3}{8}$

Mari kita cek kembali identitas: $\sin(x) \sin(60-x) \sin(60+x) = \frac{1}{4} \sin(3x)$.
Misalkan $x=20^{\circ}$. Maka $60-x=40^{\circ}$ dan $60+x=80^{\circ}$.
Jadi, $\sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(80^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ekspresi awal adalah $\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(160^{\circ}) \sin(320^{\circ})$.
Kita sudah ubah menjadi $-\sqrt{3} \sin(80^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ})$ (karena $\sin(160^{\circ}) = \sin(20^{\circ})$ dan $\sin(320^{\circ}) = -\sin(40^{\circ})$).
Ini sama dengan $-\sqrt{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{8}) = -\frac{3}{8}$.

Ada kesalahan dalam pemahaman soal atau identitas yang digunakan. Mari kita tinjau kembali soalnya.
Nilai dari $\sqrt{3}\sin 80^{\circ}\sin 160^{\circ}\sin 320^{\circ}$.
$\sin 160^{\circ} = \sin (180^{\circ}-20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$.
$\sin 320^{\circ} = \sin (360^{\circ}-40^{\circ}) = -\sin 40^{\circ}$.
Jadi, ekspresi menjadi $\sqrt{3}\sin 80^{\circ}\sin 20^{\circ}(-\sin 40^{\circ}) = -\sqrt{3} \sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ}$.
Menggunakan identitas $\sin x \sin(60^{\circ}-x) \sin(60^{\circ}+x) = \frac{1}{4} \sin 3x$.
Dengan $x=20^{\circ}$, maka $\sin 20^{\circ}\sin(60^{\circ}-20^{\circ})\sin(60^{\circ}+20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ} = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Maka, ekspresi awal menjadi $-\sqrt{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{8}) = -\frac{3}{8}$.

Sepertinya ada kekeliruan dalam soal atau ekspektasi jawaban. Namun, jika kita perhatikan bentuk soalnya, seringkali hasil akhirnya adalah bilangan bulat atau pecahan sederhana.