Nilai dari integral 0 pi/4 sin 5x.sin x dx= ....

Nilai integralnya adalah 1/12.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_{0}^{\pi/4} \sin(5x) \sin(x) dx$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk perkalian sinus:

$\\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

Dalam kasus ini, $A = 5x$ dan $B = x$. Maka:
$\\sin(5x) \sin(x) = \frac{1}{2} [\cos(5x-x) - \cos(5x+x)]$
$\\sin(5x) \sin(x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(6x)]$

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam integral:
$$ \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(6x)] dx $$ 
$$ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} (\cos(4x) - \cos(6x)) dx $$ 

Integralkan masing-masing suku:
$$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(4x)}{4} - \frac{\sin(6x)}{6} \right]_{0}^{\pi/4} $$ 

Evaluasi batas atas dan bawah:
$$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\sin(4(\pi/4))}{4} - \frac{\sin(6(\pi/4))}{6} \right) - \left( \frac{\sin(4(0))}{4} - \frac{\sin(6(0))}{6} \right) \right] $$ 
$$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\sin(\pi)}{4} - \frac{\sin(3\pi/2)}{6} \right) - \left( \frac{\sin(0)}{4} - \frac{\sin(0)}{6} \right) \right] $$ 

Karena $\sin(\pi) = 0$, $\sin(3\pi/2) = -1$, dan $\sin(0) = 0$, maka:
$$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{0}{4} - \frac{-1}{6} \right) - (0 - 0) \right] $$ 
$$ = \frac{1}{2} \left[ 0 + \frac{1}{6} \right] $$ 
$$ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} $$ 
$$ = \frac{1}{12} $$ 

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah $\frac{1}{12}$.