Nilai dari integral 0 pi/4 sin 6x . sin x dx=...

-√2/70

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari \int_{0}^{\pi/4} \sin 6x \cdot \sin x dx, kita dapat menggunakan identitas trigonometri:
\sin A \sin B = 1/2 [cos(A-B) - cos(A+B)]
Dalam kasus ini, A = 6x dan B = x.
Maka, \sin 6x \sin x = 1/2 [cos(6x-x) - cos(6x+x)] = 1/2 [cos 5x - cos 7x]
Sekarang kita integralkan:
∫ 1/2 [cos 5x - cos 7x] dx
= 1/2 ∫ cos 5x dx - 1/2 ∫ cos 7x dx
= 1/2 (1/5 sin 5x) - 1/2 (1/7 sin 7x) + C
= 1/10 sin 5x - 1/14 sin 7x + C
Sekarang kita evaluasi dari 0 sampai \pi/4:
[1/10 sin(5π/4) - 1/14 sin(7π/4)] - [1/10 sin(0) - 1/14 sin(0)]
= [1/10 (-√2/2) - 1/14 (-√2/2)] - [0 - 0]
= -√2/20 + √2/28
= √2 (-1/20 + 1/28)
= √2 (-7/140 + 5/140)
= √2 (-2/140)
= -√2/70