Nilai dari lim -> 1 tan(1-x)/(x^3-1) = ...

Nilainya adalah -1/3.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari $\lim_{x\to 1} \frac{\tan(1-x)}{x^3-1}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung $x=1$ menghasilkan bentuk $\frac{\tan(0)}{0} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu.

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = \tan(1-x)$ dan $g(x) = x^3-1$.

Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(1-x))$. Menggunakan aturan rantai, kita dapatkan $f'(x) = \sec^2(1-x) 	imes \frac{d}{dx}(1-x) = \sec^2(1-x) 	imes (-1) = -\sec^2(1-x)$.

Turunan dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3-1) = 3x^2$.

Sekarang, kita hitung limit dari $\frac{f'(x)}{g'(x)}$:
$\lim_{x\to 1} \frac{-\sec^2(1-x)}{3x^2}$

Substitusikan $x=1$ ke dalam ekspresi ini:
$\frac{-\sec^2(1-1)}{3(1)^2} = \frac{-\sec^2(0)}{3}$

Karena $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$, maka $\sec^2(0) = 1^2 = 1$.

Jadi, limitnya adalah $\frac{-1}{3}$.

Dengan demikian, nilai dari $\lim_{x\to 1} \frac{\tan(1-x)}{x^3-1} = -\frac{1}{3}$.