Nilai dari lim -> pi/2 ((pi-2x).tan5x)= ...

2/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) tan(5x)), kita dapat menggunakan substitusi atau aturan L'Hopital karena jika kita langsung substitusi x = pi/2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0 * tak hingga.

Mari kita gunakan substitusi. Misalkan y = pi/2 - x. Maka, x = pi/2 - y. Ketika x -> pi/2, maka y -> 0.

Substitusikan ke dalam ekspresi:
pi - 2x = pi - 2(pi/2 - y) = pi - pi + 2y = 2y

5x = 5(pi/2 - y) = 5pi/2 - 5y

Jadi, ekspresi menjadi:
lim_{y->0} (2y * tan(5pi/2 - 5y))

Kita tahu bahwa tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB). Namun, menggunakan identitas tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) lebih mudah di sini.

lim_{y->0} (2y * sin(5pi/2 - 5y) / cos(5pi/2 - 5y))

Kita tahu bahwa sin(5pi/2 - 5y) = sin(2pi + pi/2 - 5y) = sin(pi/2 - 5y) = cos(5y).
Dan cos(5pi/2 - 5y) = cos(2pi + pi/2 - 5y) = cos(pi/2 - 5y) = sin(5y).

Jadi, ekspresi menjadi:
lim_{y->0} (2y * cos(5y) / sin(5y))

Kita bisa mengatur ulang ini menjadi:
lim_{y->0} (2y / sin(5y)) * cos(5y)

Kita tahu bahwa lim_{theta->0} (sin(theta)/theta) = 1, sehingga lim_{theta->0} (theta/sin(theta)) = 1.
Untuk mendapatkan bentuk ini, kita kalikan dan bagi dengan 5:

lim_{y->0} (2 * (5y / sin(5y)) * (1/5)) * cos(5y)

= (2/5) * lim_{y->0} (5y / sin(5y)) * lim_{y->0} cos(5y)

= (2/5) * 1 * cos(0)

= (2/5) * 1 * 1

= 2/5

Alternatif menggunakan Aturan L'Hopital:
Limitnya adalah lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) / (1 / tan(5x))) = lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) / cot(5x)).
Ini adalah bentuk 0/0.
Turunkan pembilang: d/dx (pi - 2x) = -2.
Turunkan penyebut: d/dx (cot(5x)) = -csc^2(5x) * 5 = -5 csc^2(5x).

Maka limitnya menjadi:
lim_{x->pi/2} (-2 / (-5 csc^2(5x)))
= lim_{x->pi/2} (2 / (5 csc^2(5x)))
= lim_{x->pi/2} (2 sin^2(5x) / 5)

Substitusi x = pi/2:
= (2 sin^2(5 * pi/2)) / 5
= (2 sin^2(5pi/2)) / 5

Karena sin(5pi/2) = sin(2pi + pi/2) = sin(pi/2) = 1.
= (2 * (1)^2) / 5
= 2/5