Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12mathKalkulus

Nilai dari lim -> pi/2 ((pi-2x).tan5x)= ...

Pertanyaan

Berapakah nilai dari lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) tan(5x))?

Solusi

Verified

2/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) tan(5x)), kita dapat menggunakan substitusi atau aturan L'Hopital karena jika kita langsung substitusi x = pi/2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0 * tak hingga. Mari kita gunakan substitusi. Misalkan y = pi/2 - x. Maka, x = pi/2 - y. Ketika x -> pi/2, maka y -> 0. Substitusikan ke dalam ekspresi: pi - 2x = pi - 2(pi/2 - y) = pi - pi + 2y = 2y 5x = 5(pi/2 - y) = 5pi/2 - 5y Jadi, ekspresi menjadi: lim_{y->0} (2y * tan(5pi/2 - 5y)) Kita tahu bahwa tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB). Namun, menggunakan identitas tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) lebih mudah di sini. lim_{y->0} (2y * sin(5pi/2 - 5y) / cos(5pi/2 - 5y)) Kita tahu bahwa sin(5pi/2 - 5y) = sin(2pi + pi/2 - 5y) = sin(pi/2 - 5y) = cos(5y). Dan cos(5pi/2 - 5y) = cos(2pi + pi/2 - 5y) = cos(pi/2 - 5y) = sin(5y). Jadi, ekspresi menjadi: lim_{y->0} (2y * cos(5y) / sin(5y)) Kita bisa mengatur ulang ini menjadi: lim_{y->0} (2y / sin(5y)) * cos(5y) Kita tahu bahwa lim_{theta->0} (sin(theta)/theta) = 1, sehingga lim_{theta->0} (theta/sin(theta)) = 1. Untuk mendapatkan bentuk ini, kita kalikan dan bagi dengan 5: lim_{y->0} (2 * (5y / sin(5y)) * (1/5)) * cos(5y) = (2/5) * lim_{y->0} (5y / sin(5y)) * lim_{y->0} cos(5y) = (2/5) * 1 * cos(0) = (2/5) * 1 * 1 = 2/5 Alternatif menggunakan Aturan L'Hopital: Limitnya adalah lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) / (1 / tan(5x))) = lim_{x->pi/2} ((pi - 2x) / cot(5x)). Ini adalah bentuk 0/0. Turunkan pembilang: d/dx (pi - 2x) = -2. Turunkan penyebut: d/dx (cot(5x)) = -csc^2(5x) * 5 = -5 csc^2(5x). Maka limitnya menjadi: lim_{x->pi/2} (-2 / (-5 csc^2(5x))) = lim_{x->pi/2} (2 / (5 csc^2(5x))) = lim_{x->pi/2} (2 sin^2(5x) / 5) Substitusi x = pi/2: = (2 sin^2(5 * pi/2)) / 5 = (2 sin^2(5pi/2)) / 5 Karena sin(5pi/2) = sin(2pi + pi/2) = sin(pi/2) = 1. = (2 * (1)^2) / 5 = 2/5

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Aturan L Hopital

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...