Nilai dari lim x-> tak hingga x(akar(x^2+1)-x) adalah

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)$, kita dapat mengalikan dengan konjugatnya:

$$ \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \times \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x} $$

$$ = \lim_{x \to \infty} x \frac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} $$

$$ = \lim_{x \to \infty} x \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} $$

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x} $$

Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $\sqrt{x^2}$):

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + \frac{x}{x}} $$

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} + 1} $$

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1} $$

Ketika $x \to \infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$:

$$ = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} $$

$$ = \frac{1}{1 + 1} $$

$$ = \frac{1}{2} $$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1/2.