Nilai dari limit x->2 (x^2-4x+4)/(1-cos^2(x-2)) adalah ....

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau manipulasi aljabar. Pertama, kita perhatikan bahwa jika kita langsung substitusi x=2, kita akan mendapatkan bentuk 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu. Kita bisa memfaktorkan pembilang menjadi (x-2)^2. Untuk penyebut, kita ingat identitas trigonometri 1 - cos^2(A) = sin^2(A). Jadi, penyebutnya menjadi sin^2(x-2). Limitnya menjadi: lim x->2 (x-2)^2 / sin^2(x-2). Kita bisa menulis ulang ini sebagai [ (x-2) / sin(x-2) ]^2. Kita tahu bahwa limit dari (sin(A)/A) ketika A mendekati 0 adalah 1. Oleh karena itu, limit dari (A/sin(A)) ketika A mendekati 0 juga 1. Dalam kasus ini, A = x-2, dan ketika x mendekati 2, A mendekati 0. Jadi, limit dari (x-2)/sin(x-2) ketika x mendekati 2 adalah 1. Maka, nilai limitnya adalah 1^2 = 1.