Nilai dari: limit x -> 2 ((x-2)cos(pi x-2pi))/(tan(2pi

1/(2pi)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi tersebut, kita akan menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita akan gunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Fungsi yang diberikan adalah: limit x -> 2 ((x-2)cos(pi x-2pi))/(tan(2pi x-4pi))

Substitusi x = 2:
Pembilang: (2-2)cos(pi*2 - 2pi) = 0 * cos(2pi - 2pi) = 0 * cos(0) = 0 * 1 = 0
Penyebut: tan(2pi*2 - 4pi) = tan(4pi - 4pi) = tan(0)

Karena tan(0) = 0, substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah, lalu menghitung limitnya.

Turunan Pembilang (f(x) = (x-2)cos(pi x - 2pi)):
Misalkan u = x-2, maka u' = 1.
Misalkan v = cos(pi x - 2pi), maka v' = -sin(pi x - 2pi) * (turunan dari pi x - 2pi terhadap x) = -sin(pi x - 2pi) * pi.
Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
f'(x) = (1)cos(pi x - 2pi) + (x-2)(-sin(pi x - 2pi) * pi)
f'(x) = cos(pi x - 2pi) - pi(x-2)sin(pi x - 2pi)

Turunan Penyebut (g(x) = tan(2pi x - 4pi)):
Menggunakan aturan rantai, turunan dari tan(u) adalah sec^2(u) * u'.
Misalkan u = 2pi x - 4pi, maka u' = 2pi.
g'(x) = sec^2(2pi x - 4pi) * (2pi)

Sekarang, kita hitung limit dari f'(x)/g'(x) saat x -> 2:
limit x -> 2 [ (cos(pi x - 2pi) - pi(x-2)sin(pi x - 2pi)) / (2pi sec^2(2pi x - 4pi)) ]

Substitusi x = 2:
Pembilang: cos(pi*2 - 2pi) - pi(2-2)sin(pi*2 - 2pi)
= cos(0) - pi(0)sin(0)
= 1 - 0 * 0
= 1

Penyebut: 2pi sec^2(2pi*2 - 4pi)
= 2pi sec^2(4pi - 4pi)
= 2pi sec^2(0)

Kita tahu bahwa sec(0) = 1/cos(0) = 1/1 = 1. Maka sec^2(0) = 1^2 = 1.

Penyebut = 2pi * 1 = 2pi

Jadi, limitnya adalah 1 / (2pi).

Jawaban ringkas: Nilai limitnya adalah 1/(2pi).