Nilai dari (sin 105+sin 15)/(cos 75-cos 5) adalah ...

√3 (dengan asumsi penyebutnya cos 15 - cos 75)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.
Pertama, kita ubah soal menjadi:
$$(sin 105 + sin 15) / (cos 75 - cos 5)$$ 
Kita gunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus:
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Maka, sin 105 + sin 15 = 2 sin((105+15)/2) cos((105-15)/2) = 2 sin 60 cos 45
Dan cos 75 - cos 5 = -2 sin((75+5)/2) sin((75-5)/2) = -2 sin 40 sin 35

Sehingga, ekspresi menjadi:
$$(2 sin 60 cos 45) / (-2 sin 40 sin 35)$$
Ini tampaknya tidak menyederhanakan dengan mudah. Mari kita periksa kembali identitas yang relevan.

Alternatif lain, kita bisa gunakan sudut berelasi:
sin 105 = sin (90+15) = cos 15
cos 75 = cos (90-15) = sin 15

Maka, ekspresi menjadi:
$$(cos 15 + sin 15) / (sin 15 - cos 5)$$
Ini juga tidak terlihat menyederhanakan.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengubah sudut agar lebih mudah.
sin 105 = sin (60+45) = sin 60 cos 45 + cos 60 sin 45 = $(\sqrt{3}/2)(\sqrt{2}/2) + (1/2)(\sqrt{2}/2) = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4$
sin 15 = sin (45-30) = sin 45 cos 30 - cos 45 sin 30 = $(\sqrt{2}/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{2}/2)(1/2) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$

sin 105 + sin 15 = $(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 = 2\sqrt{6}/4 = \sqrt{6}/2$

cos 75 = cos (45+30) = cos 45 cos 30 - sin 45 sin 30 = $(\sqrt{2}/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{2}/2)(1/2) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$
cos 5 - Ini adalah masalahnya, cos 5 tidak memiliki nilai standar yang mudah.

Mari kita revisi soalnya, mungkin ada kesalahan pengetikan. Jika soalnya adalah (sin 105 + sin 15) / (cos 15 - cos 75):
cos 15 = $(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4$
cos 75 = $(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$
cos 15 - cos 75 = $(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 = 2\sqrt{2}/4 = \sqrt{2}/2$

Maka, ekspresi menjadi: $(\sqrt{6}/2) / (\sqrt{2}/2) = \sqrt{6}/\sqrt{2} = \sqrt{3}$

Jika soalnya adalah (sin 105 + sin 15) / (cos 5 - cos 75):
cos 5 - cos 75 = cos 5 - $(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$. Ini tetap sulit.

Mari kita asumsikan soalnya adalah seperti yang tertulis: (sin 105 + sin 15) / (cos 75 - cos 5).
Kita kembali ke:
sin 105 + sin 15 = $\sqrt{6}/2$
cos 75 - cos 5 = $(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 - cos 5$. Sulit untuk dilanjutkan.

Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal, karena nilai cos 5 tidak mudah dihitung tanpa kalkulator dan biasanya soal semacam ini dirancang agar bisa diselesaikan dengan identitas trigonometri standar.

Jika kita berasumsi soalnya adalah: Nilai dari (sin 105 + sin 15) / (sin 75 - sin 15)
sin 105 + sin 15 = $\sqrt{6}/2$
sin 75 = sin (45+30) = sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 = $(\sqrt{2}/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{2}/2)(1/2) = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4$
sin 15 = $(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$
sin 75 - sin 15 = $(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 = 2\sqrt{2}/4 = \sqrt{2}/2$
Maka, $(\sqrt{6}/2) / (\sqrt{2}/2) = \sqrt{3}$

Dengan asumsi soal yang diberikan benar dan menggunakan kalkulator untuk cos 5:
cos 5 ≈ 0.99619
cos 75 ≈ 0.25882
cos 75 - cos 5 ≈ 0.25882 - 0.99619 = -0.73737
sin 105 + sin 15 = $\sqrt{6}/2$ ≈ 1.2247

Hasilnya adalah 1.2247 / -0.73737 ≈ -1.661

Namun, jika soalnya adalah $\frac{\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}}$ maka:
$\sin 105^{\circ} = \sin(60^{\circ}+45^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ}-30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
$\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ}-30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\cos 75^{\circ} = \cos(45^{\circ}+30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$