Nilai lim x->2 (2/(x-2)-8/(x^2-4)=...

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to2} (\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^2-4})$,
pertama-tama kita samakan penyebutnya. Penyebut kedua adalah selisih dua kuadrat, $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Sehingga, kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut menjadi:

$\lim_{x\to2} (\frac{2}{x-2}-\frac{8}{(x-2)(x+2)})$ 

Sekarang, kita samakan penyebutnya dengan mengalikan suku pertama dengan $\frac{x+2}{x+2}$:

$\lim_{x\to2} (\frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{(x-2)(x+2)})$ 

Gabungkan kedua pecahan:

$\lim_{x\to2} \frac{2(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}$ 

Distribusikan 2 di pembilang:

$\lim_{x\to2} \frac{2x+4-8}{(x-2)(x+2)}$ 

Sederhanakan pembilang:

$\lim_{x\to2} \frac{2x-4}{(x-2)(x+2)}$ 

Faktorkan pembilang:

$\lim_{x\to2} \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ 

Karena $x \to 2$, maka $x \neq 2$, sehingga kita bisa membatalkan $(x-2)$ dari pembilang dan penyebut:

$\lim_{x\to2} \frac{2}{x+2}$ 

Sekarang substitusikan $x=2$ ke dalam ekspresi yang tersisa:

$\frac{2}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Jadi, nilai $\lim_{x\to2} (\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^2-4})$ adalah $\frac{1}{2}$.