Nilai lim x->3 (xtan(2x-6))/(sin(x-3)) = ... .

Nilai limitnya adalah 6.

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai dari limit berikut: lim x->3 (xtan(2x-6))/(sin(x-3)).

Ketika x mendekati 3, kita dapat melakukan substitusi:
Pembilang: 3 * tan(2*3 - 6) = 3 * tan(0) = 3 * 0 = 0
Penyebut: sin(3 - 3) = sin(0) = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar dengan mengingat bahwa lim u->0 (tan(u)/u) = 1 dan lim u->0 (sin(u)/u) = 1.

Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut:
(x * tan(2(x-3))) / sin(x-3)

Untuk membuat bentuknya sesuai dengan rumus limit yang diketahui, kita perlu mengalikan dan membagi dengan suku yang tepat:

lim x->3 [x * (tan(2(x-3)) / (2(x-3))) * (2(x-3)) / sin(x-3)]

Sekarang kita pisahkan menjadi beberapa limit:
lim x->3 (x) * lim x->3 [tan(2(x-3)) / (2(x-3))] * lim x->3 [2(x-3) / sin(x-3)]

Kita tahu bahwa:
1. lim x->3 (x) = 3
2. Misalkan u = 2(x-3). Ketika x->3, maka u->0. Jadi, lim x->3 [tan(2(x-3)) / (2(x-3))] = lim u->0 (tan(u)/u) = 1.
3. Misalkan v = x-3. Ketika x->3, maka v->0. Jadi, lim x->3 [2(x-3) / sin(x-3)] = 2 * lim v->0 [v / sin(v)] = 2 * 1 = 2.

Menggabungkan hasil ini:
3 * 1 * 2 = 6.

Jadi, nilai lim x->3 (xtan(2x-6))/(sin(x-3)) adalah 6.