Nilai limit berikut adalah... lim _(x -> 0) (6-6 cos 4

Nilai limitnya adalah -0.5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos 4x}{3 \cos 8x - 3}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ saat x=0. Turunan dari pembilang $(6 - 6 \cos 4x)$ adalah $-6(-\sin 4x)(4) = 24 \sin 4x$. Turunan dari penyebut $(3 \cos 8x - 3)$ adalah $3(-\sin 8x)(8) = -24 \sin 8x$. Maka limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{24 \sin 4x}{-24 \sin 8x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{-\sin 8x}$. Bentuknya masih $\frac{0}{0}$, jadi kita gunakan L'Hopital lagi. Turunan dari $\sin 4x$ adalah $4 \cos 4x$. Turunan dari $-\sin 8x$ adalah $-8 \cos 8x$. Maka limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos 4x}{-8 \cos 8x} = \frac{4 \cos 0}{-8 \cos 0} = \frac{4(1)}{-8(1)} = -\frac{4}{8} = -0.5$. Alternatif lain adalah menggunakan identitas trigonometri. $\lim_{x \to 0} \frac{6(1 - \cos 4x)}{3(\cos 8x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - \cos 4x)}{-(\cos 8x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - \cos 4x)}{-(1 - \cos 8x)}$. Menggunakan identitas $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$, maka $1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ dan $1 - \cos 8x = 2 \sin^2 4x$. Limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{2(2 \sin^2 2x)}{-(2 \sin^2 4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 2x}{-\sin^2 4x}$. Menggunakan $\sin A \approx A$ untuk x dekat 0, maka $\frac{2(2x)^2}{-(4x)^2} = \frac{2(4x^2)}{-16x^2} = \frac{8x^2}{-16x^2} = -0.5$.