Nilai limit x->2 (2/x^2-4)-(3/(x^2+2x-8))=....

-1/24

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu.

Limit yang diberikan adalah: lim (x->2) [(2/(x^2-4)) - (3/(x^2+2x-8))]

Pertama, kita faktorkan penyebut dari kedua pecahan:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

Sekarang, kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi limit:
lim (x->2) [2/((x-2)(x+2)) - 3/((x+4)(x-2))]

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, kita perlu menyamakan penyebutnya. Penyebut bersama adalah (x-2)(x+2)(x+4).

lim (x->2) [ (2(x+4)) / ((x-2)(x+2)(x+4)) - (3(x+2)) / ((x-2)(x+2)(x+4)) ]

Sekarang, kita gabungkan pembilangnya:
lim (x->2) [ (2(x+4) - 3(x+2)) / ((x-2)(x+2)(x+4)) ]

Distribusikan pada pembilang:
lim (x->2) [ (2x + 8 - 3x - 6) / ((x-2)(x+2)(x+4)) ]

Sederhanakan pembilang:
lim (x->2) [ (-x + 2) / ((x-2)(x+2)(x+4)) ]

Perhatikan bahwa (-x + 2) sama dengan -(x - 2).
lim (x->2) [ -(x - 2) / ((x-2)(x+2)(x+4)) ]

Kita bisa membatalkan faktor (x - 2) di pembilang dan penyebut (karena x mendekati 2, x tidak sama dengan 2):
lim (x->2) [ -1 / ((x+2)(x+4)) ]

Sekarang, kita substitusikan x = 2 ke dalam ekspresi yang tersisa:
-1 / ((2+2)(2+4))
-1 / (4 * 6)
-1 / 24

Jadi, nilai limitnya adalah -1/24.