Nilai limit x-> (2x^2+4x)/(tan 2x)= ...

2

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{x\to 0} \frac{2x^2+4x}{\tan 2x}$, kita dapat menggunakan metode substitusi langsung atau menggunakan aturan L'Hopital jika menghasilkan bentuk tak tentu.

Langkah 1: Substitusi langsung.
Jika kita substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi, kita mendapatkan:
$\frac{2(0)^2+4(0)}{\tan(2 \times 0)} = \frac{0}{\tan(0)} = \frac{0}{0}$
Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain.

Langkah 2: Menggunakan Aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Turunan dari pembilang ($f(x) = 2x^2+4x$):
$f'(x) = 4x + 4$

Turunan dari penyebut ($g(x) = \tan 2x$):
$g'(x) = \sec^2(2x) 	imes 2 = 2\sec^2(2x)$

Sekarang, hitung limit dari rasio turunan:
$\lim_{x\to 0} \frac{4x+4}{2\sec^2(2x)}$

Substitusikan $x=0$:
$\frac{4(0)+4}{2\sec^2(2 	imes 0)} = \frac{4}{2\sec^2(0)}$
Karena $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$, maka $\sec^2(0) = 1^2 = 1$.
$\frac{4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$

Alternatif: Menggunakan identitas limit $\lim_{u\to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$.
Kita dapat menulis ulang soal menjadi:
$\lim_{x\to 0} \frac{2x^2+4x}{\tan 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(2x+4)}{\tan 2x}$
$= \lim_{x\to 0} \frac{x}{\tan 2x} 	imes (2x+4)$
$= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\tan 2x} 	imes \frac{1}{2} 	imes (2x+4)$
Karena $\lim_{u\to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$, maka $\lim_{x\to 0} \frac{2x}{\tan 2x} = 1$.
$= 1 \times \frac{1}{2} 	imes (2(0)+4)$
$= \frac{1}{2} 	imes 4$
$= 2$

Jadi, nilai limitnya adalah 2.