Untuk pasangan fungsi yang diberikan tentukanlah daerah

Daerah asal $gof(x)$ adalah $x < 0$, dan daerah hasilnya adalah $\mathbb{R}$.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) dari fungsi komposisi $gof(x)$, kita perlu memahami kedua fungsi terlebih dahulu: $f(x) = -x$ dan $g(x) = \ln x$.

Fungsi komposisi $gof(x)$ didefinisikan sebagai $g(f(x))$.

1.  **Daerah Asal (Domain) $f(x)$:**
    Fungsi $f(x) = -x$ adalah fungsi linear yang terdefinisi untuk semua bilangan real. Jadi, domain $f$ adalah $D_f = \mathbb{R}$ (semua bilangan real).

2.  **Daerah Hasil (Range) $f(x)$:**
    Karena $f(x) = -x$, outputnya juga bisa berupa bilangan real apa saja. Jadi, range $f$ adalah $R_f = \mathbb{R}$.

3.  **Daerah Asal (Domain) $g(x)$:**
    Fungsi $g(x) = \ln x$ adalah fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma hanya terdefinisi untuk argumen yang positif. Jadi, domain $g$ adalah $D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$.

4.  **Daerah Hasil (Range) $g(x)$:**
    Fungsi logaritma natural dapat menghasilkan nilai real apa saja. Jadi, range $g$ adalah $R_g = \mathbb{R}$.

5.  **Menentukan $gof(x)$:**
    $gof(x) = g(f(x)) = g(-x) = \ln(-x)$.

6.  **Menentukan Daerah Asal (Domain) $gof(x)$:**
    Agar $gof(x) = \ln(-x)$ terdefinisi, argumen dari fungsi logaritma harus positif. Artinya, $-x > 0$.
    Jika $-x > 0$, maka kita kalikan kedua sisi dengan $-1$ dan membalik tanda ketidaksamaan:
    $x < 0$.
    Jadi, daerah asal dari $gof(x)$ adalah $D_{gof} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}$.

7.  **Menentukan Daerah Hasil (Range) $gof(x)$:**
    Misalkan $y = gof(x) = \ln(-x)$. Karena $x < 0$, maka $-x$ akan selalu positif (yaitu, $-x > 0$). Fungsi $\ln(z)$ untuk $z > 0$ dapat menghasilkan nilai real apa saja, dari $-\infty$ hingga $+\infty$. Oleh karena itu, daerah hasil dari $gof(x)$ adalah $R_{gof} = \mathbb{R}$ (semua bilangan real).

Kesimpulan:
*   Daerah Asal (Domain) $gof(x)$ adalah $x < 0$.
*   Daerah Hasil (Range) $gof(x)$ adalah $\mathbb{R}$.