Nilai limit x mendekati 0 (sin 4x+sin 2x)/3x cosx = ....

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau dengan memanipulasi ekspresi.

Limit x mendekati 0 (sin 4x + sin 2x) / (3x cos x)

Jika kita substitusi x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

**Menggunakan Aturan L'Hopital:**
Turunkan pembilang dan penyebut:
Turunan pembilang: d/dx (sin 4x + sin 2x) = 4 cos 4x + 2 cos 2x
Turunan penyebut: d/dx (3x cos x) = 3 cos x + 3x (-sin x) = 3 cos x - 3x sin x

Sekarang substitusi x = 0 ke dalam turunan:
(4 cos 0 + 2 cos 0) / (3 cos 0 - 3*0*sin 0)
= (4*1 + 2*1) / (3*1 - 0)
= (4 + 2) / 3
= 6 / 3
= 2

**Menggunakan Manipulasi Ekspresi:**
Limit x mendekati 0 (sin 4x + sin 2x) / (3x cos x)
= Limit x mendekati 0 [ (sin 4x / 4x) * 4x + (sin 2x / 2x) * 2x ] / (3x cos x)
Karena Limit x->0 (sin ax / ax) = 1, maka:
= Limit x mendekati 0 [ 1 * 4x + 1 * 2x ] / (3x cos x)
= Limit x mendekati 0 [ 6x ] / (3x cos x)
Cancel 3x dari pembilang dan penyebut:
= Limit x mendekati 0 [ 2 ] / (cos x)
Substitusi x = 0:
= 2 / cos 0
= 2 / 1
= 2

Jadi, nilai limitnya adalah 2.