Nilai dari lim x->0 (cos2x -1)/(x tan2x) adalah

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x→0 (cos2x - 1)/(x tan2x), kita dapat menggunakan beberapa pendekatan, termasuk substitusi langsung, aturan L'Hôpital, atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Metode 1: Substitusi Langsung (Awal)
Jika kita langsung substitusi x = 0:
cos(2*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0
0 * tan(2*0) = 0 * tan(0) = 0 * 0 = 0
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain.

Metode 2: Aturan L'Hôpital
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim x→c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim x→c f'(x)/g'(x), asalkan limit turunan ada.

Misalkan f(x) = cos(2x) - 1 dan g(x) = x tan(2x).

Cari turunan f(x):
f'(x) = d/dx (cos(2x) - 1)
f'(x) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)

Cari turunan g(x) menggunakan aturan perkalian (u*v)' = u'v + uv':
Misalkan u = x dan v = tan(2x).
u' = 1
v' = sec²(2x) * 2 = 2sec²(2x)

g'(x) = (1) * tan(2x) + (x) * (2sec²(2x))
g'(x) = tan(2x) + 2x sec²(2x)

Sekarang, terapkan Aturan L'Hôpital:
lim x→0 (-2sin(2x)) / (tan(2x) + 2x sec²(2x))

Substitusi x = 0:
-2sin(0) = -2 * 0 = 0
tan(0) + 2*0*sec²(0) = 0 + 0 * 1² = 0
Kita mendapatkan bentuk 0/0 lagi. Kita perlu menerapkan L'Hôpital lagi.

Cari turunan f'(x):
f''(x) = d/dx (-2sin(2x)) = -2 * cos(2x) * 2 = -4cos(2x)

Cari turunan g'(x):
g''(x) = d/dx (tan(2x) + 2x sec²(2x))
Turunan tan(2x) adalah 2sec²(2x).
Turunan 2x sec²(2x) menggunakan aturan perkalian (u=2x, v=sec²(2x)):
u' = 2
v' = 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x) * 2) = 4 sec²(2x) tan(2x).
Jadi, turunan 2x sec²(2x) adalah (2) * sec²(2x) + (2x) * (4 sec²(2x) tan(2x))
= 2 sec²(2x) + 8x sec²(2x) tan(2x).

Maka, g''(x) = 2sec²(2x) + 2sec²(2x) + 8x sec²(2x) tan(2x)
g''(x) = 4sec²(2x) + 8x sec²(2x) tan(2x).

Sekarang, terapkan L'Hôpital lagi:
lim x→0 (-4cos(2x)) / (4sec²(2x) + 8x sec²(2x) tan(2x))

Substitusi x = 0:
-4cos(0) = -4 * 1 = -4
4sec²(0) + 8*0*sec²(0)tan(0) = 4 * 1² + 0 = 4.

Jadi, limitnya adalah -4 / 4 = -1.

Metode 3: Manipulasi Aljabar dan Identitas
Kita tahu bahwa tan(2x) = sin(2x) / cos(2x).
Limit = lim x→0 (cos(2x) - 1) / (x * sin(2x) / cos(2x))
Limit = lim x→0 (cos(2x) - 1) * cos(2x) / (x sin(2x))

Gunakan identitas cos(2x) - 1 = -2sin²(x).
Limit = lim x→0 (-2sin²(x)) * cos(2x) / (x sin(2x))

Gunakan identitas sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Limit = lim x→0 (-2sin²(x)) * cos(2x) / (x * 2sin(x)cos(x))
Limit = lim x→0 (-sin(x) * sin(x) * cos(2x)) / (x * sin(x) * cos(x))

Batalkan satu sin(x):
Limit = lim x→0 (-sin(x) * cos(2x)) / (x * cos(x))

Kita tahu lim x→0 sin(x)/x = 1.
Kita bisa menulis ulang limit sebagai:
Limit = lim x→0 (-sin(x)/x) * (cos(2x) / cos(x))

Sekarang, substitusi x = 0:
= (-1) * (cos(0) / cos(0))
= (-1) * (1 / 1)
= -1.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -1.