Nilai maksimum dan minimum fungsi

Nilai maksimum adalah 38/3 (terjadi pada x=-2) dan nilai minimum adalah -13/8 (terjadi pada x=1.5).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 - 6x + 4$ dalam interval $[-3, 2]$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Cari Turunan Pertama Fungsi:**
    Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)$.
    $f'(x) = \frac{d}{dx}((2/3)x^3 + (1/2)x^2 - 6x + 4)$
    $f'(x) = (2/3) \times 3x^2 + (1/2) 	imes 2x - 6$
    $f'(x) = 2x^2 + x - 6$

2.  **Cari Titik Stasioner (Titik Kritis):**
    Titik stasioner terjadi ketika $f'(x) = 0$.
    $2x^2 + x - 6 = 0$
    Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
    $(2x - 3)(x + 2) = 0$
    Ini memberikan dua kemungkinan nilai $x$:
    *   $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2 = 1.5$
    *   $x + 2 = 0 \implies x = -2$

3.  **Periksa Apakah Titik Stasioner Berada dalam Interval:**
    Interval yang diberikan adalah $[-3, 2]$.
    *   $x = 1.5$ berada dalam interval $[-3, 2]$.
    *   $x = -2$ berada dalam interval $[-3, 2]$.

4.  **Hitung Nilai Fungsi pada Titik Stasioner dan Titik Ujung Interval:**
    Kita perlu menghitung nilai $f(x)$ pada $x = -3$, $x = -2$, $x = 1.5$, dan $x = 2$.

    *   **Untuk $x = -3$ (titik ujung):**
        $f(-3) = (2/3)(-3)^3 + (1/2)(-3)^2 - 6(-3) + 4$
        $f(-3) = (2/3)(-27) + (1/2)(9) + 18 + 4$
        $f(-3) = -18 + 4.5 + 18 + 4$
        $f(-3) = 8.5$

    *   **Untuk $x = -2$ (titik stasioner):**
        $f(-2) = (2/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 - 6(-2) + 4$
        $f(-2) = (2/3)(-8) + (1/2)(4) + 12 + 4$
        $f(-2) = -16/3 + 2 + 12 + 4$
        $f(-2) = -5.333... + 18$
        $f(-2) = 12.667... = 38/3$

    *   **Untuk $x = 1.5 = 3/2$ (titik stasioner):**
        $f(3/2) = (2/3)(3/2)^3 + (1/2)(3/2)^2 - 6(3/2) + 4$
        $f(3/2) = (2/3)(27/8) + (1/2)(9/4) - 9 + 4$
        $f(3/2) = (54/24) + (9/8) - 5$
        $f(3/2) = (9/4) + (9/8) - 5$
        $f(3/2) = (18/8) + (9/8) - 40/8$
        $f(3/2) = (27 - 40) / 8$
        $f(3/2) = -13/8 = -1.625$

    *   **Untuk $x = 2$ (titik ujung):**
        $f(2) = (2/3)(2)^3 + (1/2)(2)^2 - 6(2) + 4$
        $f(2) = (2/3)(8) + (1/2)(4) - 12 + 4$
        $f(2) = 16/3 + 2 - 12 + 4$
        $f(2) = 5.333... - 6$
        $f(2) = -0.667... = -2/3$

5.  **Bandingkan Nilai-nilai Tersebut:**
    Nilai-nilai yang kita peroleh adalah:
    *   $f(-3) = 8.5$
    *   $f(-2) = 38/3 \approx 12.67$
    *   $f(1.5) = -13/8 = -1.625$
    *   $f(2) = -2/3 \approx -0.67$

    Nilai terbesar (maksimum) adalah $38/3$ yang terjadi pada $x = -2$.
    Nilai terkecil (minimum) adalah $-13/8$ yang terjadi pada $x = 1.5$.

Jadi, nilai maksimum fungsi $f(x)$ dalam interval $[-3, 2]$ adalah $38/3$ dan nilai minimumnya adalah $-13/8$.