Nilai maksimum dari 12 sin theta - 9 sin^2 theta adalah

Nilai maksimumnya adalah 4.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi $f(\theta) = 12 \sin \theta - 9 \sin^2 \theta$, kita dapat menggunakan konsep turunan atau dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat.

Metode 1: Menggunakan Turunan

Misalkan $u = \sin \theta$. Maka fungsi menjadi $f(u) = 12u - 9u^2$. Agar fungsi ini memiliki nilai maksimum, kita perlu mencari turunan pertama terhadap $u$ dan menyamakannya dengan nol.

$f'(u) = d/du (12u - 9u^2) = 12 - 18u$.

Setel $f'(u) = 0$:
$12 - 18u = 0$
$18u = 12$
$u = 12/18 = 2/3$.

Karena $u = \sin \theta$, maka $\sin \theta = 2/3$. Nilai $\sin \theta$ berada di antara -1 dan 1, dan $2/3$ berada dalam rentang ini.

Sekarang kita substitusikan kembali $u = 2/3$ ke dalam fungsi $f(u)$ untuk mencari nilai maksimum:

Nilai maksimum $= 12(2/3) - 9(2/3)^2$
$= 8 - 9(4/9)$
$= 8 - 4$
$= 4$.

Metode 2: Mengubah ke Bentuk Kuadrat

Fungsi $f(\theta) = 12 \sin \theta - 9 \sin^2 \theta$ dapat ditulis sebagai $f(u) = -9u^2 + 12u$, di mana $u = \sin \theta$.

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c$, nilai maksimum terjadi pada $x = -b/(2a)$. Dalam kasus ini, $a = -9$ dan $b = 12$.

$u = -12 / (2 \times -9) = -12 / -18 = 2/3$.

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat adalah $f(-b/(2a))$.

Nilai maksimum $= -9(2/3)^2 + 12(2/3)$
$= -9(4/9) + 8$
$= -4 + 8$
$= 4$.

Nilai maksimum dari $12 \sin \theta - 9 \sin^2 \theta$ adalah 4.