Buktikan bahwa 1 +4+7+10 + 13 + +3n -2 = n/2(3n-1) untuk

Pernyataan terbukti benar untuk n=1. Dengan asumsi benar untuk n=k, dibuktikan juga benar untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan ini menggunakan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah utama:

1.  **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kasus dasar, yaitu n = 1.
    Untuk n = 1, sisi kiri adalah suku pertama, yaitu 3(1) - 2 = 1. Sisi kanan adalah (1/2)(3(1) - 1) = (1/2)(2) = 1. Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2.  **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k (hipotesis induksi), yaitu 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) = k/2(3k - 1). Kemudian, tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
    Kita perlu menunjukkan bahwa 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) + (3(k+1) - 2) = (k+1)/2(3(k+1) - 1).
    Menggunakan hipotesis induksi, kita bisa menulis sisi kiri sebagai:
    [k/2(3k - 1)] + (3(k+1) - 2)
    = [k/2(3k - 1)] + (3k + 3 - 2)
    = [k/2(3k - 1)] + (3k + 1)
    Sekarang, kita samakan penyebutnya:
    = [k(3k - 1) + 2(3k + 1)] / 2
    = (3k² - k + 6k + 2) / 2
    = (3k² + 5k + 2) / 2

    Sekarang, mari kita lihat sisi kanan untuk n = k + 1:
    (k+1)/2(3(k+1) - 1)
    = (k+1)/2(3k + 3 - 1)
    = (k+1)/2(3k + 2)
    = (k+1)(3k + 2) / 2
    = (3k² + 2k + 3k + 2) / 2
    = (3k² + 5k + 2) / 2

    Karena sisi kiri dan sisi kanan sama, maka pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + (3n - 2) = n/2(3n - 1) benar untuk setiap bilangan asli n.