Nilai maksimum dari k dimana (5-cos 2theta)/(sin theta)>=2k

Nilai maksimum k adalah tak terhingga.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum k, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan \((5 - \cos 2\theta) / \sin \theta \ge 2k\) dengan batasan \(0 < \theta \le \pi\). Pertama, kita ubah \(\cos 2\theta\) menggunakan identitas \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta\). Sehingga, pertidaksamaan menjadi \((5 - (1 - 2\sin^2 \theta)) / \sin \theta \ge 2k\), yang disederhanakan menjadi \((4 + 2\sin^2 \theta) / \sin \theta \ge 2k\). Ini setara dengan \((2 + \sin^2 \theta) / \sin \theta \ge k\). Misalkan \(x = \sin \theta\). Karena \(0 < \theta \le \pi\), maka \(0 < x \\|\le 1\). Pertidaksamaan menjadi \((2 + x^2) / x \ge k\). Kita ingin mencari nilai maksimum dari \(k\) sehingga pertidaksamaan ini berlaku untuk semua \(x\) dalam rentang \(0 < x \le 1\). Mari kita analisis fungsi \(f(x) = (2 + x^2) / x = 2/x + x\). Untuk mencari nilai maksimum, kita dapat menggunakan turunan. \(f'(x) = -2/x^2 + 1\). Setel \(f'(x) = 0\) untuk mencari titik kritis: \(-2/x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}\) (karena \(x > 0\)). Namun, \(x = \sqrt{2}\) berada di luar rentang \(0 < x \le 1\). Oleh karena itu, kita perlu mengevaluasi fungsi di batas rentang. Ketika \(x \to 0^+\), \(f(x) \to \infty\). Ketika \(x = 1\), \(f(1) = (2 + 1^2) / 1 = 3\). Karena \(f'(x) = (x^2 - 2) / x^2\), dan untuk \(0 < x \le 1\), \(x^2 < 1\), maka \(x^2 - 2 < 0\), sehingga \(f'(x) < 0\). Ini berarti fungsi \(f(x)\) menurun pada rentang \(0 < x \le 1\). Nilai maksimum fungsi terjadi pada batas bawah rentang, yaitu saat \(x \to 0^+\). Namun, karena \(\sin \theta \ne 0\) (karena \(0 < \theta \le \pi\) dan \(\theta \ne 0\)), maka nilai \(f(x)\) bisa mendekati tak hingga. Jika ada kesalahan dalam pemahaman soal atau batasan, dan kita mengasumsikan bahwa \(\sin \theta\) memiliki nilai minimum positif tertentu, maka nilai \(k\) akan terbatas. Namun, berdasarkan soal yang diberikan, nilai maksimum \(k\) yang memenuhi pertidaksamaan adalah tak terhingga.