Nilai minimum dari y=sin x + cos x adalah ...

Nilai minimumnya adalah -√2

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari y = sin x + cos x, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan mengubah bentuk fungsi tersebut menjadi bentuk R sin(x + α) atau R cos(x - α).
Mari kita ubah ke bentuk R sin(x + α):
y = sin x + cos x
Kita tahu bahwa R sin(x + α) = R(sin x cos α + cos x sin α) = (R cos α) sin x + (R sin α) cos x.
Dengan membandingkan kedua bentuk, kita dapatkan:
R cos α = 1
R sin α = 1
Kuadratkan dan jumlahkan kedua persamaan:
(R cos α)^2 + (R sin α)^2 = 1^2 + 1^2
R^2 cos^2 α + R^2 sin^2 α = 1 + 1
R^2 (cos^2 α + sin^2 α) = 2
Karena cos^2 α + sin^2 α = 1, maka:
R^2 = 2
R = √2 (karena R harus positif)
Sekarang, kita cari nilai α:
tan α = (R sin α) / (R cos α) = 1/1 = 1
Karena sin α dan cos α positif, maka α berada di kuadran I. Nilai α yang memenuhi tan α = 1 adalah α = 45° atau π/4 radian.
Jadi, y = sin x + cos x dapat ditulis sebagai y = √2 sin(x + 45°).
Fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1 dan nilai minimum -1. Oleh karena itu:
Nilai maksimum y adalah √2 * 1 = √2.
Nilai minimum y adalah √2 * (-1) = -√2.
Jadi, nilai minimum dari y = sin x + cos x adalah -√2.