Perhatikan kubus berikut Jarak antara titik E dan bidang

Jaraknya adalah a/√3, di mana 'a' adalah panjang rusuk kubus.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik E dan bidang AFH pada sebuah kubus, kita perlu memahami geometri kubus dan konsep jarak dari titik ke bidang.

Misalkan kita memiliki kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 'a'.
Titik E berada pada bidang EFGH.
Bidang AFH dibentuk oleh titik A, F, dan H.

Dalam kubus, bidang AFH merupakan bidang diagonal yang memotong kubus.

Untuk mencari jarak dari titik E ke bidang AFH, kita dapat menggunakan prinsip proyeksi atau vektor. Namun, cara yang lebih intuitif adalah dengan melihat simetri kubus.

Perhatikan bahwa titik E berada di salah satu sudut atas kubus. Bidang AFH memotong kubus secara diagonal. Jarak terpendek dari sebuah titik ke sebuah bidang adalah garis tegak lurus dari titik tersebut ke bidang.

Dalam kubus, jarak dari titik E ke bidang AFH sama dengan jarak dari titik B ke bidang ACGE (jika kita menganggap B berada di posisi yang simetris terhadap E terhadap bidang ACGE). Namun, ini tidak membantu secara langsung.

Cara lain adalah dengan membayangkan sebuah bidang yang melalui E dan tegak lurus terhadap bidang AFH. Titik potongnya pada AFH akan memberikan jarak terdekat.

Mari kita gunakan koordinat. Misalkan titik A = (0,0,0), B = (a,0,0), D = (0,a,0), E = (0,0,a). Maka F = (a,0,a), G = (a,a,a), H = (0,a,a).

Titik E memiliki koordinat (0,0,a).
Bidang AFH dibentuk oleh titik A(0,0,0), F(a,0,a), dan H(0,a,a).

Persamaan bidang yang melalui titik A, F, H dapat dicari. Vektor normal bidang ini dapat dihitung dari perkalian silang vektor AF dan AH.
AF = F - A = (a,0,a)
AH = H - A = (0,a,a)

N = AF x AH = | i  j  k |
                | a  0  a |
                | 0  a  a |

N = i(0*a - a*a) - j(a*a - a*0) + k(a*a - 0*0)
N = i(-a^2) - j(a^2) + k(a^2)
N = (-a^2, -a^2, a^2)

Kita bisa menggunakan vektor normal yang lebih sederhana, misalnya N' = (1, 1, -1) (dengan membagi N dengan -a^2).

Persamaan bidang AFH adalah dengan bentuk ax + by + cz = d. Menggunakan titik A(0,0,0) dan normal N'=(1,1,-1):
1*x + 1*y + (-1)*z = d
0 + 0 + 0 = d => d = 0.
Jadi, persamaan bidang AFH adalah x + y - z = 0.

Sekarang, kita cari jarak dari titik E(0,0,a) ke bidang x + y - z = 0.
Rumus jarak dari titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Dalam kasus ini, (x0, y0, z0) = (0,0,a), A = 1, B = 1, C = -1, D = 0.

Jarak = |1*(0) + 1*(0) + (-1)*(a) + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
Jarak = |0 + 0 - a + 0| / sqrt(1 + 1 + 1)
Jarak = |-a| / sqrt(3)
Jarak = a / sqrt(3)

Jadi, jarak antara titik E dan bidang AFH adalah a/√3, di mana 'a' adalah panjang rusuk kubus.