Nilai minimum f(x, y)=5x+2y yang memenuhi sistem

14

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari f(x, y) = 5x + 2y dengan sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Titik-titik pojok didapatkan dari perpotongan garis-garis pembatasnya:

1. x + 2y = 6
2. 2x + y = 6
3. x = 0
4. y = 0

Perpotongan garis 1 dan 2:
Dari (1), x = 6 - 2y. Substitusikan ke (2):
2(6 - 2y) + y = 6
12 - 4y + y = 6
12 - 3y = 6
-3y = -6
y = 2
Substitusikan y = 2 ke x = 6 - 2y:
x = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2
Jadi, titik potongnya adalah (2, 2).

Perpotongan garis 1 dengan sumbu x (y=0):
x + 2(0) = 6 => x = 6. Titik potongnya adalah (6, 0).

Perpotongan garis 1 dengan sumbu y (x=0):
0 + 2y = 6 => y = 3. Titik potongnya adalah (0, 3).

Perpotongan garis 2 dengan sumbu x (y=0):
2x + 0 = 6 => x = 3. Titik potongnya adalah (3, 0).

Perpotongan garis 2 dengan sumbu y (x=0):
2(0) + y = 6 => y = 6. Titik potongnya adalah (0, 6).

Sekarang kita perlu menentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan:
x + 2y <= 6
2x + y >= 6
x >= 0
y >= 0

Titik-titik pojok yang relevan adalah perpotongan garis-garis batas di dalam daerah yang memenuhi. Dengan menguji beberapa titik, kita dapat menentukan daerah yang layak. Titik pojok yang memenuhi adalah:
- Perpotongan garis x + 2y = 6 dan 2x + y = 6, yaitu (2, 2).
- Perpotongan garis 2x + y = 6 dengan sumbu y (x=0), yaitu (0, 6). Namun, titik ini tidak memenuhi x+2y<=6 (0+2*6=12 > 6).
- Perpotongan garis x + 2y = 6 dengan sumbu x (y=0), yaitu (6, 0). Namun, titik ini tidak memenuhi 2x+y>=6 (2*6+0=12 >= 6).
- Perpotongan garis 2x + y = 6 dengan sumbu x (y=0), yaitu (3, 0). Titik ini memenuhi x+2y<=6 (3+2*0=3 <= 6).
- Perpotongan garis x + 2y = 6 dengan sumbu y (x=0), yaitu (0, 3). Titik ini tidak memenuhi 2x+y>=6 (2*0+3=3 < 6).

Jadi, titik-titik pojok yang perlu diuji adalah (2, 2) dan (3, 0). Terdapat satu titik pojok lagi dari perpotongan garis 2x+y=6 dengan sumbu x yaitu (3,0). Dan perpotongan antara x+2y=6 dengan sumbu x (y=0) yaitu (6,0). Namun, perpotongan x+2y=6 dan 2x+y=6 yaitu (2,2) perlu dicek bersama dengan titik potong sumbu x dan y dari masing-masing garis.

Mari kita evaluasi fungsi f(x, y) = 5x + 2y pada titik-titik pojok yang mungkin memenuhi kedua kondisi:

1. Titik potong x + 2y = 6 dan 2x + y = 6 adalah (2, 2).
   f(2, 2) = 5(2) + 2(2) = 10 + 4 = 14

2. Titik potong 2x + y = 6 dengan sumbu x (y=0) adalah (3, 0).
   Titik ini memenuhi x+2y<=6 (3+0<=6) dan x>=0, y>=0.
   f(3, 0) = 5(3) + 2(0) = 15 + 0 = 15

3. Titik potong x + 2y = 6 dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 3).
   Titik ini tidak memenuhi 2x+y>=6 (0+3<6).

4. Titik potong 2x + y = 6 dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 6).
   Titik ini tidak memenuhi x+2y<=6 (0+12>6).

5. Titik potong x + 2y = 6 dengan sumbu x (y=0) adalah (6, 0).
   Titik ini memenuhi 2x+y>=6 (12>=6) dan x>=0, y>=0.
   f(6, 0) = 5(6) + 2(0) = 30 + 0 = 30

Titik pojok yang memenuhi adalah (2,2) dan (3,0) serta (6,0). Perlu diklarifikasi bahwa daerah layak dibatasi oleh keempat pertidaksamaan.

Jika kita gambarkan daerahnya:
- x + 2y <= 6: daerah di bawah garis x + 2y = 6.
- 2x + y >= 6: daerah di atas garis 2x + y = 6.
- x >= 0, y >= 0: kuadran pertama.

Garis x + 2y = 6 memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,3).
Garis 2x + y = 6 memotong sumbu x di (3,0) dan sumbu y di (0,6).

Daerah yang memenuhi adalah segitiga dengan titik-titik pojok:
- Perpotongan x+2y=6 dan 2x+y=6, yaitu (2,2).
- Perpotongan 2x+y=6 dan sumbu x (y=0), yaitu (3,0).
- Perpotongan x+2y=6 dan sumbu x (y=0), yaitu (6,0). Namun, titik (6,0) tidak memenuhi 2x+y>=6 (karena 12>=6). Maka (6,0) bukan bagian dari daerah layak.

Mari kita periksa kembali:
Daerah layak adalah daerah di mana:
1. Di bawah atau pada x + 2y = 6
2. Di atas atau pada 2x + y = 6
3. Di kuadran pertama.

Garis 1 memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,3).
Garis 2 memotong sumbu x di (3,0) dan sumbu y di (0,6).
Titik potong kedua garis adalah (2,2).

Titik-titik pojok daerah layak adalah:
- Titik potong 2x+y=6 dengan sumbu x: (3,0). Cek x+2y<=6: 3+0<=6 (benar).
- Titik potong x+2y=6 dengan sumbu x: (6,0). Cek 2x+y>=6: 12+0>=6 (benar).
- Titik potong x+2y=6 dan 2x+y=6: (2,2). Cek x>=0, y>=0 (benar).

Sekarang kita evaluasi f(x, y) = 5x + 2y pada titik-titik pojok ini:

f(3, 0) = 5(3) + 2(0) = 15
f(6, 0) = 5(6) + 2(0) = 30
f(2, 2) = 5(2) + 2(2) = 10 + 4 = 14

Nilai minimumnya adalah 14.