Nilai minimum Z=x+y yang memenuhi SPtLDV, 4x+3y<=12,

Nilai minimum Z adalah 11/5.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi tujuan Z = x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV), kita perlu menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari pertidaksamaan tersebut terlebih dahulu, kemudian mencari titik-titik pojok DHP. Nilai minimum atau maksimum fungsi tujuan akan terletak pada salah satu titik pojok tersebut.

Sistem pertidaksamaannya adalah:
1. 4x + 3y ≤ 12
2. 2x + 3y ≥ 6
3. 4x + y ≥ 4

Langkah 1: Tentukan titik potong garis-garis dari pertidaksamaan.
Untuk 4x + 3y = 12:
Jika x=0, 3y=12 -> y=4. Titik (0, 4).
Jika y=0, 4x=12 -> x=3. Titik (3, 0).

Untuk 2x + 3y = 6:
Jika x=0, 3y=6 -> y=2. Titik (0, 2).
Jika y=0, 2x=6 -> x=3. Titik (3, 0).

Untuk 4x + y = 4:
Jika x=0, y=4. Titik (0, 4).
Jika y=0, 4x=4 -> x=1. Titik (1, 0).

Langkah 2: Gambar garis-garis tersebut pada sistem koordinat Kartesius dan tentukan DHP.
Kita perlu menguji titik (0,0) untuk menentukan daerah yang diarsir:
1. 4x + 3y ≤ 12: 4(0) + 3(0) ≤ 12 -> 0 ≤ 12 (Benar). Daerah di bawah garis 4x + 3y = 12.
2. 2x + 3y ≥ 6: 2(0) + 3(0) ≥ 6 -> 0 ≥ 6 (Salah). Daerah di atas garis 2x + 3y = 6.
3. 4x + y ≥ 4: 4(0) + (0) ≥ 4 -> 0 ≥ 4 (Salah). Daerah di atas garis 4x + y = 4.

DHP adalah daerah yang memenuhi ketiga kondisi tersebut.

Langkah 3: Cari titik-titik pojok DHP.
Titik pojok adalah perpotongan antara garis-garis:
* Perpotongan garis 2x + 3y = 6 dan 4x + y = 4:
Kalikan persamaan kedua dengan 3: 12x + 3y = 12.
Kurangkan persamaan pertama: (12x + 3y) - (2x + 3y) = 12 - 6 -> 10x = 6 -> x = 6/10 = 3/5.
Substitusikan x ke 4x + y = 4: 4(3/5) + y = 4 -> 12/5 + y = 20/5 -> y = 8/5. Titik P (3/5, 8/5).

* Perpotongan garis 4x + 3y = 12 dan 4x + y = 4:
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (4x + 3y) - (4x + y) = 12 - 4 -> 2y = 8 -> y = 4.
Substitusikan y ke 4x + y = 4: 4x + 4 = 4 -> 4x = 0 -> x = 0. Titik Q (0, 4).

* Perpotongan garis 4x + 3y = 12 dan 2x + 3y = 6:
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (4x + 3y) - (2x + 3y) = 12 - 6 -> 2x = 6 -> x = 3.
Substitusikan x ke 2x + 3y = 6: 2(3) + 3y = 6 -> 6 + 3y = 6 -> 3y = 0 -> y = 0. Titik R (3, 0).

Perlu diperhatikan bahwa titik (1,0) dari 4x+y=4 bukan merupakan titik pojok DHP karena tidak memenuhi 4x+3y<=12 (4(1)+3(0)=4<=12 benar) tetapi tidak memenuhi 2x+3y>=6 (2(1)+3(0)=2>=6 salah). Titik (0,2) dari 2x+3y=6 bukan merupakan titik pojok DHP karena tidak memenuhi 4x+y>=4 (4(0)+2=2>=4 salah).

Jadi, titik-titik pojok DHP adalah P(3/5, 8/5), Q(0, 4), dan R(3, 0).

Langkah 4: Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan Z = x + y.
* Untuk P(3/5, 8/5): Z = 3/5 + 8/5 = 11/5.
* Untuk Q(0, 4): Z = 0 + 4 = 4.
* Untuk R(3, 0): Z = 3 + 0 = 3.

Nilai minimum dari Z adalah 11/5.