Nilai rata-rata suatu fungsi f(x) dalam selang a <= x <= b

0,4 inci/jam

Pembahasan

Untuk mencari rata-rata ukuran hujan yang jatuh dalam selang waktu 0 hingga 6 jam, kita perlu menggunakan definisi nilai rata-rata fungsi.

Definisi nilai rata-rata fungsi f(x) dalam selang a <= x <= b adalah:
$f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Dalam kasus ini, fungsi hujan adalah $f(t) = 0,1 - 0,1t + 0,05t^2$, dengan selang waktu dari $a=0$ hingga $b=6$ jam.

Langkah 1: Hitung integral tentu dari f(t) dari 0 hingga 6.
$
\int_{0}^{6} (0,1 - 0,1t + 0,05t^2) dt$

Untuk menghitung integralnya, kita integralkan setiap suku:
$
\int 0,1 dt = 0,1t$
$
\int -0,1t dt = -0,1 \frac{t^2}{2} = -0,05t^2$
$
\int 0,05t^2 dt = 0,05 \frac{t^3}{3} = \frac{0,05}{3}t^3$

Jadi, integral tak tentunya adalah: $0,1t - 0,05t^2 + \frac{0,05}{3}t^3$

Sekarang, kita evaluasi integral tentu dari 0 hingga 6:
$[0,1t - 0,05t^2 + \frac{0,05}{3}t^3]_{0}^{6}$

Evaluasi pada t=6:
$0,1(6) - 0,05(6)^2 + \frac{0,05}{3}(6)^3$
$0,6 - 0,05(36) + \frac{0,05}{3}(216)$
$0,6 - 1,8 + 0,05(72)$
$0,6 - 1,8 + 3,6$
$2,4$

Evaluasi pada t=0:
$0,1(0) - 0,05(0)^2 + \frac{0,05}{3}(0)^3 = 0$

Jadi, hasil integral tentu adalah $2,4 - 0 = 2,4$.

Langkah 2: Bagi hasil integral dengan panjang selang (b-a).
Panjang selang adalah $b-a = 6 - 0 = 6$ jam.

Rata-rata ukuran hujan = $\frac{1}{6} \times 2,4 = 0,4$

Hasilnya adalah 0,4 inci/jam.