Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar

Nilai x yang memenuhi persamaan |3x-9|=|1-2x| + 1 adalah

Pertanyaan

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |3x-9|=|1-2x| + 1.

Solusi

Verified

Nilai x yang memenuhi adalah 9/5 dan 9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak |3x - 9| = |1 - 2x| + 1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus utama yang muncul dari sifat nilai mutlak, yaitu: Kasus 1: 3x - 9 = 1 - 2x + 1 3x - 9 = 2 - 2x 3x + 2x = 2 + 9 5x = 11 x = 11/5 Kasus 2: 3x - 9 = -(1 - 2x) + 1 3x - 9 = -1 + 2x + 1 3x - 9 = 2x 3x - 2x = 9 x = 9 Sekarang kita perlu memeriksa apakah kedua nilai x ini memenuhi persamaan awal. Untuk x = 11/5: |3(11/5) - 9| = |33/5 - 45/5| = |-12/5| = 12/5 |1 - 2(11/5)| + 1 = |1 - 22/5| + 1 = |5/5 - 22/5| + 1 = |-17/5| + 1 = 17/5 + 1 = 17/5 + 5/5 = 22/5 Karena 12/5 ≠ 22/5, maka x = 11/5 bukan solusi. Untuk x = 9: |3(9) - 9| = |27 - 9| = |18| = 18 |1 - 2(9)| + 1 = |1 - 18| + 1 = |-17| + 1 = 17 + 1 = 18 Karena 18 = 18, maka x = 9 adalah solusi. Namun, penyelesaian persamaan nilai mutlak juga bisa dilakukan dengan mengkuadratkan kedua sisi jika kedua sisi adalah nilai mutlak. Dalam kasus ini, kita memiliki |a| = |b| + c, yang sedikit berbeda. Cara lain yang lebih umum untuk |A| = |B| adalah A = B atau A = -B. Namun, di sini ada penambahan konstanta. Mari kita tinjau kembali |3x - 9| = |1 - 2x| + 1. Kita pisahkan berdasarkan tanda nilai mutlak: Kemungkinan 1: 3x - 9 = 1 - 2x + 1 => 5x = 11 => x = 11/5 Kemungkinan 2: 3x - 9 = -(1 - 2x) + 1 => 3x - 9 = -1 + 2x + 1 => 3x - 9 = 2x => x = 9 Kita harus memeriksa semua kemungkinan pemisahan. Kasus A: 3x-9 ≥ 0 (x ≥ 3) dan 1-2x ≥ 0 (x ≤ 1/2). Tidak ada solusi karena rentangnya tidak tumpang tindih. Kasus B: 3x-9 ≥ 0 (x ≥ 3) dan 1-2x < 0 (x > 1/2). Maka 3x-9 = 1-2x + 1 => 5x = 11 => x = 11/5. Ini tidak memenuhi x ≥ 3. Kasus C: 3x-9 < 0 (x < 3) dan 1-2x ≥ 0 (x ≤ 1/2). Maka -(3x-9) = 1-2x + 1 => -3x+9 = 2-2x => -x = -7 => x = 7. Ini tidak memenuhi x < 3. Kasus D: 3x-9 < 0 (x < 3) dan 1-2x < 0 (x > 1/2). Maka -(3x-9) = -(1-2x) + 1 => -3x+9 = -1+2x+1 => -3x+9 = 2x => 5x = 9 => x = 9/5. Ini memenuhi x < 3 dan x > 1/2. Mari kita periksa x = 9/5 pada persamaan awal: |3(9/5)-9| = |27/5 - 45/5| = |-18/5| = 18/5 |1-2(9/5)|+1 = |5/5 - 18/5| + 1 = |-13/5| + 1 = 13/5 + 5/5 = 18/5 Jadi, x = 9/5 adalah solusi. Sepertinya ada kekeliruan dalam penanganan kasus sebelumnya. Mari kita coba metode kuadratkan kedua sisi jika memungkinkan atau periksa kembali. Metode lain: Karena |A| = |B| maka A = B atau A = -B. Namun, ini bukan bentuk |A| = |B|. Persamaan: |3x - 9| = |1 - 2x| + 1 Kita bisa memindahkan |1 - 2x| ke sisi kiri: |3x - 9| - |1 - 2x| = 1 Sekarang kita periksa nilai-nilai kritis x: 3x - 9 = 0 => x = 3 1 - 2x = 0 => x = 1/2 Interval yang perlu diuji: x < 1/2, 1/2 ≤ x < 3, x ≥ 3. 1. Jika x < 1/2: 3x - 9 negatif, jadi |3x - 9| = -(3x - 9) = 9 - 3x 1 - 2x positif, jadi |1 - 2x| = 1 - 2x Persamaan menjadi: (9 - 3x) - (1 - 2x) = 1 9 - 3x - 1 + 2x = 1 8 - x = 1 x = 7. Ini kontradiksi karena kita mengasumsikan x < 1/2. 2. Jika 1/2 ≤ x < 3: 3x - 9 negatif, jadi |3x - 9| = -(3x - 9) = 9 - 3x 1 - 2x negatif, jadi |1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1 Persamaan menjadi: (9 - 3x) - (2x - 1) = 1 9 - 3x - 2x + 1 = 1 10 - 5x = 1 5x = 9 x = 9/5. Ini memenuhi 1/2 ≤ x < 3. Jadi, x = 9/5 adalah solusi. 3. Jika x ≥ 3: 3x - 9 positif, jadi |3x - 9| = 3x - 9 1 - 2x negatif, jadi |1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1 Persamaan menjadi: (3x - 9) - (2x - 1) = 1 3x - 9 - 2x + 1 = 1 x - 8 = 1 x = 9. Ini memenuhi x ≥ 3. Jadi, x = 9 adalah solusi. Kesimpulan: Nilai x yang memenuhi adalah 9/5 dan 9.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Nilai Mutlak
Section: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak Yang Melibatkan Dua Nilai Mutlak

Apakah jawaban ini membantu?