Nilai x yang memenuhi persamaan |3x-9|=|1-2x| + 1 adalah

Nilai x yang memenuhi adalah 9/5 dan 9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak |3x - 9| = |1 - 2x| + 1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus utama yang muncul dari sifat nilai mutlak, yaitu:

Kasus 1: 3x - 9 = 1 - 2x + 1
3x - 9 = 2 - 2x
3x + 2x = 2 + 9
5x = 11
x = 11/5

Kasus 2: 3x - 9 = -(1 - 2x) + 1
3x - 9 = -1 + 2x + 1
3x - 9 = 2x
3x - 2x = 9
x = 9

Sekarang kita perlu memeriksa apakah kedua nilai x ini memenuhi persamaan awal.

Untuk x = 11/5:
|3(11/5) - 9| = |33/5 - 45/5| = |-12/5| = 12/5
|1 - 2(11/5)| + 1 = |1 - 22/5| + 1 = |5/5 - 22/5| + 1 = |-17/5| + 1 = 17/5 + 1 = 17/5 + 5/5 = 22/5
Karena 12/5 ≠ 22/5, maka x = 11/5 bukan solusi.

Untuk x = 9:
|3(9) - 9| = |27 - 9| = |18| = 18
|1 - 2(9)| + 1 = |1 - 18| + 1 = |-17| + 1 = 17 + 1 = 18
Karena 18 = 18, maka x = 9 adalah solusi.

Namun, penyelesaian persamaan nilai mutlak juga bisa dilakukan dengan mengkuadratkan kedua sisi jika kedua sisi adalah nilai mutlak. Dalam kasus ini, kita memiliki |a| = |b| + c, yang sedikit berbeda.

Cara lain yang lebih umum untuk |A| = |B| adalah A = B atau A = -B. Namun, di sini ada penambahan konstanta.

Mari kita tinjau kembali |3x - 9| = |1 - 2x| + 1.
Kita pisahkan berdasarkan tanda nilai mutlak:

Kemungkinan 1: 3x - 9 = 1 - 2x + 1  => 5x = 11 => x = 11/5
Kemungkinan 2: 3x - 9 = -(1 - 2x) + 1 => 3x - 9 = -1 + 2x + 1 => 3x - 9 = 2x => x = 9

Kita harus memeriksa semua kemungkinan pemisahan.

Kasus A: 3x-9 ≥ 0 (x ≥ 3) dan 1-2x ≥ 0 (x ≤ 1/2). Tidak ada solusi karena rentangnya tidak tumpang tindih.
Kasus B: 3x-9 ≥ 0 (x ≥ 3) dan 1-2x < 0 (x > 1/2). Maka 3x-9 = 1-2x + 1 => 5x = 11 => x = 11/5. Ini tidak memenuhi x ≥ 3.
Kasus C: 3x-9 < 0 (x < 3) dan 1-2x ≥ 0 (x ≤ 1/2). Maka -(3x-9) = 1-2x + 1 => -3x+9 = 2-2x => -x = -7 => x = 7. Ini tidak memenuhi x < 3.
Kasus D: 3x-9 < 0 (x < 3) dan 1-2x < 0 (x > 1/2). Maka -(3x-9) = -(1-2x) + 1 => -3x+9 = -1+2x+1 => -3x+9 = 2x => 5x = 9 => x = 9/5. Ini memenuhi x < 3 dan x > 1/2. Mari kita periksa x = 9/5 pada persamaan awal:
|3(9/5)-9| = |27/5 - 45/5| = |-18/5| = 18/5
|1-2(9/5)|+1 = |5/5 - 18/5| + 1 = |-13/5| + 1 = 13/5 + 5/5 = 18/5
Jadi, x = 9/5 adalah solusi.

Sepertinya ada kekeliruan dalam penanganan kasus sebelumnya. Mari kita coba metode kuadratkan kedua sisi jika memungkinkan atau periksa kembali.

Metode lain:
Karena |A| = |B| maka A = B atau A = -B. Namun, ini bukan bentuk |A| = |B|.

Persamaan: |3x - 9| = |1 - 2x| + 1

Kita bisa memindahkan |1 - 2x| ke sisi kiri:
|3x - 9| - |1 - 2x| = 1

Sekarang kita periksa nilai-nilai kritis x:
3x - 9 = 0 => x = 3
1 - 2x = 0 => x = 1/2

Interval yang perlu diuji:
x < 1/2, 1/2 ≤ x < 3, x ≥ 3.

1. Jika x < 1/2:
   3x - 9 negatif, jadi |3x - 9| = -(3x - 9) = 9 - 3x
   1 - 2x positif, jadi |1 - 2x| = 1 - 2x
   Persamaan menjadi: (9 - 3x) - (1 - 2x) = 1
   9 - 3x - 1 + 2x = 1
   8 - x = 1
   x = 7. Ini kontradiksi karena kita mengasumsikan x < 1/2.

2. Jika 1/2 ≤ x < 3:
   3x - 9 negatif, jadi |3x - 9| = -(3x - 9) = 9 - 3x
   1 - 2x negatif, jadi |1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1
   Persamaan menjadi: (9 - 3x) - (2x - 1) = 1
   9 - 3x - 2x + 1 = 1
   10 - 5x = 1
   5x = 9
   x = 9/5. Ini memenuhi 1/2 ≤ x < 3.
   Jadi, x = 9/5 adalah solusi.

3. Jika x ≥ 3:
   3x - 9 positif, jadi |3x - 9| = 3x - 9
   1 - 2x negatif, jadi |1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1
   Persamaan menjadi: (3x - 9) - (2x - 1) = 1
   3x - 9 - 2x + 1 = 1
   x - 8 = 1
   x = 9. Ini memenuhi x ≥ 3.
   Jadi, x = 9 adalah solusi.

Kesimpulan: Nilai x yang memenuhi adalah 9/5 dan 9.