Nilai sin 105+cos 15 adalah...

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan $\sin 105^\circ + \cos 15^\circ$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

**Metode 1: Menggunakan Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sudut**

Kita tahu bahwa $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$.
Maka, $\cos 15^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \sin 75^\circ$.
Jadi, $\sin 105^\circ + \cos 15^\circ = \sin 105^\circ + \sin 75^\circ$.

Kita juga tahu identitas jumlah sinus: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
Dengan $A = 105^\circ$ dan $B = 75^\circ$:
$rac{A+B}{2} = \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$
$rac{A-B}{2} = \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Maka, $\sin 105^\circ + \sin 75^\circ = 2 \sin 90^\circ \cos 15^\circ$.
Kita tahu $\sin 90^\circ = 1$.
Jadi, ekspresinya menjadi $2 	imes 1 	imes \cos 15^\circ = 2 \cos 15^\circ$.

Sekarang kita perlu mencari nilai $\cos 15^\circ$. Kita bisa menggunakan identitas $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
Misalkan $A = 45^\circ$ dan $B = 30^\circ$:
$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Maka, $2 \cos 15^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

**Metode 2: Menggunakan Identitas Sudut Spesial**

Kita tahu $\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Dan $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Jadi, $\sin 105^\circ + \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Nilai $\sin 105^\circ + \cos 15^\circ$ adalah $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.